[论文解读] Regularization of Automorphic Functions of Manifolds with Special Kähler Geometry

N. Vanegas|ArXiv.org|Jun 3, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在具有特殊凯勒几何的流形上对自守函数进行正则化的方法，利用zeta函数来控制作用于对称性不变格点上的发散无穷乘积。该方法得到的函数具有对偶性不变性，与Eisenstein级数相关联，可用来建模弦振幅中BPS态的贡献，其具体实现体现在齐性空间SU(1,n)/(SU(n)×U(1))上，并与卡拉比-丘模空间及阿贝尔簇存在联系。

ABSTRACT

In this paper we find automorphic functions of coset manifolds with special Kähler geometry. We use ζ-functions to regularize an infinite product over integers which belong to a duality-invariant lattice, this product is known to produce duality-invariant functions. In turn these functions correspond to Eisenstein series which can be understood as string theory amplitudes that receive contributions from BPS states. The Ansatz is constructed using the coset manifold SU(1,n)\over SU(n) imes U(1) as an example but it can be generalized. Automorphic functions play an important role in the calculation of threshold corrections to gauge coupling and other stringy phenomena. We also find some connections between the theory of Abelian varieties and moduli spaces of Calabi-Yau manifolds

研究动机与目标

• 开发一种针对具有特殊凯勒几何的流形中对偶性不变格点上的无穷乘积的正则化程序。
• 构建在弦理论振幅中具有物理意义的、对偶性不变的自守函数。
• 建立SU(1,n)/(SU(n)×U(1))上的自守形式与规范耦合常数的阈值修正等物理量之间的联系。
• 通过自守形式探索阿贝尔簇理论与卡拉比-丘流形模空间之间的关联。

提出的方法

• 利用zeta函数正则化方法，控制对偶性不变格点中整数上的发散无穷乘积。
• 以齐性空间SU(1,n)/(SU(n)×U(1))为例，通过与之相关的Eisenstein级数构造自守函数。
• 应用自守形式与特殊凯勒几何的技术，确保所得函数具有对偶性不变性。
• 利用对称空间与Heisenberg型群的结构，在齐性空间上定义自守数据。
• 依赖自守形式与弦理论振幅之间的对应关系，后者受到BPS态贡献的影响。
• 将构造方法从特定示例推广至其他具有特殊凯勒几何的流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对作用于对偶性不变格点上的发散无穷乘积进行正则化，以在特殊凯勒流形上得到定义良好的自守函数？
• RQ2 zeta函数正则化在从格点乘积构造对偶性不变自守形式的过程中起到何种作用？
• RQ3 所得自守函数如何与Eisenstein级数及包含BPS态贡献的物理弦振幅相关联？
• RQ4 SU(1,n)/(SU(n)×U(1))上的自守形式与卡拉比-丘流形模空间或阿贝尔簇之间存在何种联系？
• RQ5 该构造方法能否超越SU(1,n)/(SU(n)×U(1))这一特例，推广至其他特殊凯勒流形？

主要发现

• zeta函数正则化成功地控制了对偶性不变格点上的无穷乘积，得到了收敛的自守函数。
• 所得函数具有对偶性不变性，且对应于一个Eisenstein级数，可用于建模弦振幅中BPS态的贡献。
• 该构造在齐性空间SU(1,n)/(SU(n)×U(1))上得到了显式实现，为正则化方法提供了具体实例。
• 所导出的自守函数被证明在计算弦理论中规范耦合常数的阈值修正时具有物理相关性。
• 本文通过自守形式的视角，建立了阿贝尔簇理论与卡拉比-丘流形模空间之间的非平凡联系。
• 该方法为在特殊凯勒流形上系统构造对偶性不变函数提供了框架，且可推广至更广泛的对称空间类别。