[论文解读] Regularization of energy-dependent pointlike interactions in 1D quantum mechanics

Etienne Granet|arXiv (Cornell University)|May 22, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文构建了具有有限范围的一维量子力学势，其在零范围极限下收敛于具有能量依赖耦合的狄拉克δ相互作用。与标准点相互作用不同，这些哈密顿量仅在极限下通过修正的内积保持厄米性，从而允许新的点相互作用类型，支持在势位置处存在有限的概率振幅，因此可建模非相对论系统中的不稳定束缚态和运行耦合。

ABSTRACT

We construct a family of hermitian potentials in 1D quantum mechanics that converges in the zero-range limit to a $\delta$ interaction with an energy-dependent coupling. It falls out of the standard four-parameter family of pointlike interactions in 1D. Such classification was made by requiring the pointlike interaction to be hermitian. But we show that although our Hamiltonian is hermitian for the standard inner product when the range of the potential is finite, it becomes hermitian for a different inner product in the zero-range limit. This inner product attributes a finite probability (and not probability density) for the particle to be exactly located at the position of the potential. Such pointlike interactions can then be used to construct potentials with a finite support with an energy-dependent coupling.

研究动机与目标

• 构建一维中收敛于具有能量依赖耦合的点相互作用的规则、厄米性势。
• 解决标准一维点相互作用分类（四参数族）与超出该分类的新相互作用之间的明显矛盾。
• 证明此类相互作用可作为标准厄米性势的零范围极限而出现，但需在极限中采用非标准内积以保持厄米性。
• 探讨物理后果，包括粒子在势位置处的有限局域化概率，以及不稳定双原子对的形成。
• 表明能量依赖耦合——此前被认为仅存在于相对论或场论系统中——也可在非相对论性1D量子力学中实现。

提出的方法

• 构造在 a > 0 时在标准内积下保持厄米性的光滑、有限范围势 Va(x)。
• 取零范围极限 a → 0，推导波函数的边界条件，证明其收敛于具有能量依赖耦合的δ相互作用。
• 在极限 a → 0 下识别出使哈密顿量保持厄米性的新内积结构，其与标准内积不同。
• 利用自洽方程与渐近分析，证明波函数与本征态收敛于能量依赖的点相互作用。
• 分析两粒子通过该势相互作用的动力学，表明存在有限概率形成点状束缚对。
• 推导本征态所最小化的能量泛函，其范数通过非标准内积定义，该内积赋予粒子精确位于位置处的有限概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有能量依赖耦合的一维点相互作用构造为规则、厄米性势的零范围极限？
• RQ2 为何此类相互作用超出标准的一维点相互作用四参数分类？
• RQ3 何种内积结构可在标准内积下哈密顿量非厄米性时，使极限 a → 0 下的哈密顿量保持厄米性？
• RQ4 赋予粒子在势位置处有限局域化概率的非标准内积会产生何种物理后果？
• RQ5 此类能量依赖相互作用能否用于建模非相对论系统中的不稳定双原子分子或运行耦合？

主要发现

• 规则、厄米性势的零范围极限可产生具有能量依赖耦合的δ相互作用，该相互作用超出标准的一维点相互作用四参数族。
• 在极限 a → 0 下，该哈密顿量仅在修正内积下保持厄米性，该内积赋予粒子恰好位于势位置处的有限概率（而不仅是概率密度）。
• 本征态满足典型δ相互作用的连接条件，但耦合强度依赖于态的能量。
• 该模型支持有限概率形成点状粒子对，尽管此类对不稳定，暗示其在超冷气体中瞬态双原子分子建模中的应用。
• 非相对论性1D量子力学中的能量依赖耦合可通过标准厄米性势的正则化实现，挑战了此类耦合仅见于相对论或场论框架的传统观点。
• 该构造可推广至具有能量依赖耦合的费米子δ′相互作用，且两种情形在1D的玻色-费米对偶性下互为对偶。