[论文解读] Regularization of point vortices for the Euler equation in dimension two, part II

Daomin Cao, Zhongyuan Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文通过带有 $ p $-Laplacian 类型非线性的自由边界椭圆问题对点涡进行正则化，构造了二维不可压缩欧拉方程的平稳经典解（$ p>1 $）。证明了对于 Kirchhoff-Routh 函数的任意 $ C^1 $-稳定临界点，存在一个在光滑单连通区域中逼近 $ m+n $ 个涡旋（含正负环量）的平稳解，从而在涡旋动力学与光滑解之间建立了严格的联系。

ABSTRACT

In this paper, we continue to construct stationary classical solutions of the incompressible Euler equation approximating singular stationary solutions of this equation. This procedure now is carried out by constructing solutions to the following elliptic problem \[ {cases} -\ep^2 Δu=(u-q-\fracκ{2π}\ln\frac{1}{\ep})_+^p-(q-\fracκ{2π}\ln\frac{1}{\ep}-u)_+^p, \quad & x\inΩ, u=0, \quad & x\in\partialΩ, {cases} \] where $p>1$, $Ω\subset\mathbb{R}^2$ is a bounded domain, $q$ is a harmonic function. We showed that if $Ω$ is a simply-connected smooth domain, then for any given non-degenerate critical point of Kirchhoff-Routh function $\mathcal{W}(x_1^+,...,x_m^+,x_1^-,...,x_n^-)$ with $κ^+_i=κ>0\,(i=1,...,m)$ and $κ^-_j=-κ\,(j=1,...,n)$, there is a stationary classical solution approximating stationary $m+n$ points vortex solution of incompressible Euler equations with total vorticity $(m-n)κ$.

研究动机与目标

• 严格构造二维不可压缩欧拉方程的类经典光滑平稳解，使其逼近奇异点涡配置。
• 通过引入基于自由边界问题的正则化方法，解决用正则光滑解逼近奇异解（点涡）的挑战。
• 建立 Kirchhoff-Routh 函数的 $ C^1 $-稳定临界点与此类正则化平稳解存在性之间的对应关系。
• 在统一框架中扩展先前结果，同时纳入正负涡旋（顺时针与逆时针方向）。

提出的方法

• 建立带有 $ p $-Laplacian 类型非线性的自由边界椭圆问题：$ -\rho^2 \Delta u = \sum \chi_{\Omega_i^+}(u - q - \frac{\kappa_i^+}{2\pi}\ln\frac{1}{\varepsilon})_+^p - \sum \chi_{\Omega_j^-}(q - \frac{\kappa_j^-}{2\pi}\ln\frac{1}{\varepsilon} - u)_+^p $，并施加狄利克雷边界条件。
• 采用吕亚普诺夫-施密特约化方法，构造在区域中 $ m+n $ 个点附近集中的解，其中 $ m $ 个为正涡旋，$ n $ 个为负涡旋。
• 采用围绕基于毕奥-萨伐尔定律和格林函数展开的近似解的摄动方法。
• 依赖于小参数 $ \varepsilon \to 0 $ 的渐近分析，其中 $ \varepsilon $ 控制涡旋核心尺寸及涡量强度的对数缩放。
• 应用带惩罚能量泛函的变分框架，以处理问题的自由边界性质。
• 对近似解与真实解之间的差异进行详细估计，尤其关注涡旋中心附近的集中区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否严格构造出二维欧拉方程的类经典光滑平稳解，使其逼近给定的 $ m+n $ 个具有正负混合环量的点涡配置？
• RQ2 Kirchhoff-Routh 函数的 $ C^1 $-稳定临界点在何种条件下对应于欧拉方程的正则化平稳解？
• RQ3 $ p>1 $ 的非线性选择如何影响正则化解的存在性与集中行为？
• RQ4 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，正则化涡量与速度场在涡旋核心附近的精确渐近结构是什么？
• RQ5 该方法能否在单一解框架中同时处理正负涡旋？

主要发现

• 对于 Kirchhoff-Routh 函数 $ \mathcal{W}(x_1^+,\dots,x_m^+,x_1^-,\. . .,x_n^-) $ 的任意 $ C^1 $-稳定临界点，存在一个逼近相应 $ m+n $-涡旋配置的二维欧拉方程平稳经典解。
• 所构造的解是光滑的，并在 $ \varepsilon \to 0 $ 时收敛于奇异点涡解，涡量在涡旋中心附近的小球内集中。
• 正则化解的总涡量为 $ \sum_{i=1}^m \kappa_i^+ - \sum_{j=1}^n \kappa_j^- $，与点涡系统的总环量一致。
• 该方法成功地同时处理了正负涡旋，通过 $ \Omega_i^+ $ 和 $ \Omega_j^- $ 分别表示正负环量区域。
• 解误差的渐近展开受控于 $ O(\varepsilon^{2+\sigma}/|\ln \varepsilon|^{p+1}) $，表明在集中区域具有高精度。
• 能量变化中的关键项与 $ \frac{\delta^2 a^{+}_{\delta,i}}{|\ln \varepsilon| \cdot |\ln(R/s^{+}_{\delta,i})|} \frac{\partial q}{\partial z^{+}_{i,h}} $ 成正比，将解对谐函数 $ q $ 梯度的敏感性联系起来。