[论文解读] Regularization of Rational Group Actions

Hanspeter Kraft|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提供了安德烈·韦伊正则化定理的现代证明，表明代数群 $G$ 在代数簇 $X$ 上的任意有理作用均可通过一个具有正则 $G$-作用的 $G$-簇 $Y$ 而实现双有理等变正则化。此外，本文还证明：若 $G$ 的一个稠密子群在仿射 $X$ 上作用正则，则整个有理 $G$-作用在 $X$ 上也是正则的，从而解决了代数变换群理论中长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We give a modern proof of the Regularization Theorem of André Weil which says that for every rational action of an algebraic group $G$ on a variety $X$ there exist a variety $Y$ with a regular action of $G$ and a $G$-equivariant birational map $X o Y$. Moreover, we show that a rational action of $G$ on an affine variety $X$ with the property that each $g$ from a dense subgroup of $G$ induces a regular automorphism of $X$, is a regular action.

研究动机与目标

• 为安德烈·韦伊的有理群作用于代数簇的正则化定理提供一个现代且易于理解的证明。
• 解决有理群作用何时成为正则作用的问题，特别是仿射情形下的情况。
• 证明：若代数群 $G$ 的一个稠密子群在仿射簇 $X$ 上作用正则，则 $G$ 在 $X$ 上的整个有理 $G$-作用也是正则的。
• 将经典关于等变嵌入与双有理几何的结果推广至非线性及非连通代数群的情形。
• 通过双有理映射、正则性与群论中稠密性的相互作用，厘清代数群有理作用的结构。

提出的方法

• 利用群 $\operatorname{Bir}(X)$ 的双有理自同构群上的扎里斯基拓扑，将有理群作用定义为同态 $G \to \operatorname{Bir}(X)$。
• 构造一个稠密的 $G$-不变开子集 $X_{\text{reg}} \subseteq X$，使得有理作用在此处变为双正则。
• 应用杉本的等变嵌入定理（针对连通代数群）将 $X_{\text{reg}}$ 等变地嵌入到一个具有正则 $G$-作用的簇 $Y$ 中。
• 利用子群 $\Gamma \subseteq G$ 的稠密性，其元素在 $X$ 上作用为正则自同构，从而将正则性从 $\Gamma$ 推广至整个 $G$。
• 使用一个关键引理：若一个有理映射 $\phi: X \times Y \dashrightarrow Z$ 在 $X \times U$ 上正则，且每个纤维 $\phi_x$ 在 $Y$ 的稠密子集上正则，则 $\phi$ 是正则的。
• 通过全局正则性准则将问题约化至仿射情形，利用正则函数的张量积分解与线性无关性论证，证明作用映射的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数群 $G$ 在簇 $X$ 上的有理作用在何种条件下可延拓为某个双有理模型 $Y$ 上的正则 $G$-作用？
• RQ2 能否使用现代技术与更清晰的几何直觉重新证明正则化定理？
• RQ3 当一个有理 $G$-作用在仿射簇上成为正则作用时，特别是当一个稠密子群作用正则时，其条件为何？
• RQ4 群 $G$ 的结构（如连通性、线性性或非线性性）如何影响正则化的可能性？
• RQ5 子群 $\Gamma \subseteq G$ 的稠密性在强制整个有理作用正则化的过程中起什么作用？

主要发现

• 每个代数群 $G$ 在簇 $X$ 上的有理作用都存在一个 $G$-等变双有理映射 $X \dashrightarrow Y$，使得 $Y$ 上装备有正则的 $G$-作用。
• 正则化通过首先识别一个稠密的 $G$-不变开子集 $X_{\text{reg}} \subseteq X$，使得作用在此处为双正则，然后将之等变地嵌入一个 $G$-簇 $Y$ 而实现。
• 若 $G$ 的一个稠密子群 $\Gamma \subseteq G$ 在仿射簇 $X$ 上由正则自同构作用，则 $G$ 在 $X$ 上的整个有理 $G$-作用是正则的。
• 该证明依赖于一个关键引理：在目标为仿射簇的条件下，若一个有理映射在乘积空间的稠密开子集上定义，且其每个纤维在 $Y$ 的稠密子集上正则，则该映射整体正则。
• 该结果无需假设 $G$ 线性或连通，从而将经典结果推广至更广泛的代数群类。
• 构造保证了双有理映射 $X \dashrightarrow Y$ 是 $G$-等变且主导的，从而在双有理等价意义下保持群作用结构。