[论文解读] Regularization of sliding global bifurcations derived from the local fold singularity of Filippov systems

Carles Bonet Revés, Tere M. Seara|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文利用几何奇异摄动理论与渐近方法，研究了Filippov系统在可见折点奇点附近的Sotomayor-Teixeira正则化。结果表明，即使在滑动分岔（如擦碰滑动与鞍点的滑动同宿轨道）的全局区域，正则化系统的轨线仍与原始Filippov系统的广义解保持指数接近，其拓扑结构得以保持。

ABSTRACT

In this paper we study the Sotomayor-Teixeira regularization of a general visible fold singularity of a Filippov system. Extending Geometric Fenichel Theory beyond the fold with asymptotic methods, we determine there the deviation of the orbits of the regularized system from the generalized solutions of the Filippov one. This result is applied to the regularization of some global sliding bifurcations as the Grazing-Sliding of periodic orbits or the Sliding Homoclinic to a Saddle, as well as to some classical problems in dry friction. Roughly speaking, we see that locally, and also globally, the regularization of the bifurcations preserve the topological features of the sliding ones.

研究动机与目标

• 理解Sotomayor-Teixeira正则化如何在可见折点奇点附近保持Filippov系统的动力学特性。
• 通过渐近与爆破技术，将几何Fenichel理论的应用扩展至折点区域之外。
• 在存在全局滑动分岔（如擦碰滑动与滑动同宿轨道）的条件下，确定正则化系统轨线与Filippov广义解之间的偏差。
• 将结果应用于干摩擦中的经典问题，以及擦碰滑动与滑动同宿轨道等全局分岔问题。
• 证明尽管在折点处失去法向双曲性，正则化仍能保持滑动分岔的拓扑特征。

提出的方法

• 采用Sotomayor-Teixeira正则化方法，将切换流形邻域内的两组向量场替换为一个光滑的ε-参数凸组合。
• 应用几何Fenichel理论，识别远离切点区域的法向双曲不变流形。
• 利用渐近展开与Riccati方程分析，描述不变流形在折点奇点附近的偏差。
• 使用爆破技术解决折点处双曲性的丧失，从而分析慢流形的行为。
• 在v = 1附近的临界区域应用变量变换与匹配渐近展开，推导Poincaré映射的行为。
• 通过分析流形展开中修正项的符号与渐近行为，将正则化系统的动力学与Filippov流进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sotomayor-Teixeira正则化对Filippov系统在可见折点奇点附近的动力学产生何种影响？
• RQ2 正则化系统的轨线在多大程度上仍与Filippov系统的广义解保持接近，特别是在折点附近？
• RQ3 在正则化下，全局滑动分岔（如擦碰滑动与滑动同宿轨道）的拓扑结构是否能够被保持？
• RQ4 Riccati方程在确定折点奇点附近不变流形偏差中起什么作用？
• RQ5 渐近展开与爆破方法如何解决Fenichel理论在折点处的失效问题？

主要发现

• 正则化系统中法向双曲不变流形的偏离由一个Riccati方程控制，且该偏离对ε呈指数小。
• 在折点附近，正则化系统的轨线仍集中于扩展不变流形的指数小邻域内，从而保持了Filippov动力学。
• 正则化系统的Poincaré映射满足与Filippov情形相同的渐近公式，表明其具有拓扑等价性。
• 由于修正项n₁(v)为正且慢流结构的限制，Fenichel流形进入v > 1的区域并无法离开。
• 不变流形的展开满足m(x;ε) < m₀(x)，且m(x;ε) < m̄(x;ε)，从而确保邻近轨线的吸引性。
• 结果证实，即使在全局范围内，正则化仍能保持滑动分岔的拓扑特征，包括擦碰滑动与滑动同宿轨道。