[论文解读] Regularization of the Factorization Method applied to diffuse optical tomography

Isaac Harris|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 31被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于漫射光学断层扫描的正则化分解方法，通过稳定Picard准则以应对紧算子奇异值快速衰减引起的数值不稳定性。通过为正紧算子 A: X → X* 推导谱分解并采用基于滤波的正则化，该方法提供了一种计算简单、分析严谨的指示函数，能够准确从Dirichlet-to-Neumann数据重建未知子区域，2D数值实验在噪声条件下已验证其有效性。

ABSTRACT

In this paper, we develop a new regularized version of the Factorization Method for positive operators mapping a complex Hilbert Space into it's dual space. The Factorization Method uses Picard's Criteria to define an indicator function to image an unknown region. In most applications, the data operator is compact which gives that the singular values can tend to zero rapidly which can cause numerical instabilities. The regularization of the Factorization Method presented here seeks to avoid the numerical instabilities in applying Picard's Criteria. This method allows one to image the interior structure of an object with little a priori information in a computationally simple and analytically rigorous way. Here we will focus on an application of this method to diffuse optical tomography where will prove that this method can be used to recover an unknown subregion from the Dirichlet-to-Neumann mapping. Numerical examples will be presented in two dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种数值稳定的、正则化的分解方法变体，用于涉及奇异值快速衰减的紧算子的逆形状问题。
• 将Picard准则推广至从复Hilbert空间 X 映射到其对偶空间 X* 的正紧算子 A: X → X*，确保分析严谨性与计算简便性。
• 将该正则化方法应用于漫射光学断层扫描，具体实现从Dirichlet-to-Neumann测量中重建未知子区域。
• 通过在噪声数据下对多种形状包含物的2D数值重建，展示该方法的鲁棒性与准确性。
• 与广义线性采样法进行对比，突出其在避免非凸函数最小化方面的优势。

提出的方法

• 利用Riesz表示定理与Hilbert-Schmidt定理，为正紧算子 A: X → X* 推导谱分解，从而分析其特征结构。
• 通过滤波函数 φ(t; α) 构造方程 Ax = ℓ 的正则化解 xα，确保当且仅当 ℓ ∈ Range(S*) 时，有 lim infα→0 ⟨xα, Axα⟩X×X* < ∞。
• 利用分解 A = S*T S，其中 S: X → V 且 T: V → V 在 Range(S) 上强椭圆，以刻画 S* 的值域。
• 将该方法应用于漫射光学断层扫描中的Dirichlet-to-Neumann算子，其中 A 映射 H¹/²(Γ) 到 H⁻¹/²(Γ)。
• 构造成像泛函 WRegFM(z) = [Σ φ²(σj; α)/σj |(uj, bz)|²]⁻¹，采用截断滤波器 φCutoff(t; α) = 1 当 t² ≥ α，否则为 0，并归一化使最大值为 1。
• 在单位圆内使用均匀采样网格实现数值计算，计算指示函数以可视化重建的边界 ∂D₀。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对正紧算子 A: X → X* 的Picard准则进行正则化，以避免因奇异值快速衰减引起的数值不稳定性？
• RQ2 该正则化分解方法是否能为逆形状重建中的非迭代方法提供一种理论严谨且计算简便的替代方案？
• RQ3 该方法能否成功仅利用Dirichlet-to-Neumann数据重建漫射光学断层扫描中的未知子区域？
• RQ4 与广义线性采样法相比，该正则化分解方法在重建精度与计算复杂度方面表现如何？
• RQ5 该正则化方法在噪声数据下的行为如何？是否可推广至扰动算子？

主要发现

• 该正则化分解方法在2D漫射光学断层扫描中成功重建了未知子区域，即使在高达5%的噪声水平下也能实现准确的边界检测。
• 对圆形方形、椭圆形、梨形和星形包含物的数值重建表明，WRegFM(z) ≈ 1 在真实区域 D₀ 内部，≈ 0 在外部，验证了理论指示函数行为。
• 该方法在无需最小化非凸函数的情况下实现良好重建，与广义线性采样法相比，提供了更简单的计算框架。
• 基于截断滤波器 φCutoff(t; α) 的成像泛函 WRegFM(z) 提供了稳定且归一化的输出，α = 10⁻⁵ 作为启发式参数在所有测试示例中均取得良好结果。
• 与GLSM的对比表明，重建质量相当，但正则化FM避免了解决Tikhonov型最小化问题的需要，从而降低了计算成本。
• 理论分析证实，ℓ ∈ Range(S*) 当且仅当 lim infα→0 ⟨xα, Axα⟩X×X* < ∞，将先前结果推广至对偶空间设置 A: X → X*。