[论文解读] Regularized geometric quantiles and universal linear distribution functionals

Dimitri Konen, Gilles Stupfler|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2026

Advanced Statistical Methods and Models被引用 0

一句话总结

论文引入正则化几何分位数和分布函数，以克服经典几何分位数的不稳定性，证明在所有概率测度下的普适性和鲁棒性，包括经验分布和退化情况。

ABSTRACT

Geometric quantiles are popular location functionals to build rank-based statistical procedures in multivariate settings. They are obtained through the minimization of a non-smooth convex objective function. As a result, the singularity of the directional derivatives leads to numerical instabilities and poor sample properties as well as surprising `phase transitions' from empirical to population distributions. To solve these issues, we introduce a regularized version of geometric distribution functions and quantiles that are provably close to the usual geometric concepts and share their qualitative properties, both in the empirical and continuous case, while allowing for a much broader applicability of asymptotic results without any moment condition. We also show that any linear assignment of probability measures (such as the univariate distribution function), that is also translation- and orthogonal-equivariant, necessarily coincides with one of our regularized geometric distribution functions.

研究动机与目标

• 动机并解决标准几何分位数因核奇异性引起的数值与样本不稳定性。
• 引入保持接近经典概念的正则化几何分布函数与分位数，同时能实现更广的渐近结果。
• 证明普适性：任一平移-正交协变的线性分布函数必须来自所提正则化形式。
• 在一般概率测度下建立正则化分位数的存在性、唯一性及可微性属性。
• 分析映射性质、鲁棒性以及在正则化下的极值分位行为。

提出的方法

• 通过 F_P^r(x)=E[r(||x−Z||)(x−Z)/||x−Z|| 1[Z≠x]] 定义正则化几何分布函数，其中 r 属于给定类别；当 r≡1 时恢复通常情况。
• 将正则化 r-分位数定义为最小化 M_{∇,⟨u,⟩}^{r,P}(x)=∫(R(x−z)−R(z))dP(z)−⟨αu,x⟩，其中 R′(x)=r(||x||) 且 R(x)=∫_0^{||x||} r(s) ds。
• 证明 F_P^r 在可微性下为分位映射的逆，推广经典关系 ∇M = F_P−αu。
• 建立普适性：任一平移-正交协变的线性分布函数必须形如 F_P^r，r 属于正则化器族中的某个 r。
• 给出 r-分位数的存在性与唯一性结果，包括目标函数的凸性与可微性；刻画极值分位数的存在性。
• 研究对称性、映射性质以及鲁棒性，类似几何分位数的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则化 r(s) 是否能产生在线性依赖 P 的意义下既普适又具平移与正交不变性的分布函数？
• RQ2 对所有概率测度（包括经验或退化分布）而言，正则化的 r-分位数是否存在且唯一？
• RQ3 r 的选择如何影响可微性、鲁棒性以及相对于经典几何分位数的极值分位行为？
• RQ4 正则化分布函数及其分位数的映射性质与对称性（如对仿射变换的不变性）是怎样的？
• RQ5 在去除相位转变与不稳定性的同时，正则化分位数在何种程度上保留几何分位数的定性特征？

主要发现

• 为任意 P 与 r（属于给定类别）定义了正则化几何分布函数 F_P^r，且 F_P^r 的值落在闭单位球内，在 r≡1 时回到经典情况。
• r-分位数映射 Q_P^r 在适当正则性条件下是开单位球到 R^d 的同胚，逆映射为 F_P^r。
• 对于 α<1，任意 P 均保证存在 r-几何分位数；极值分位数（α=1）仅在特定退化情形下存在。
• 若 r(0)=0，目标函数在任何点可微，相较经典情形的原子导致的不可微性更平滑。
• 在 r 严格增加或 P 的支持不在单一直线时，保证 r-分位数的唯一性；对线性分布的特殊化有特例。
• 当 r→1 的收敛较快时，与经典几何分位数的量级接近；鲁棒性性质（如断点点）与几何分位数一致。