[论文解读] Regularized Reduced Order Models for a Stochastic Burgers Equation

Traian Iliescu, Honghu Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 46被引用 19

一句话总结

本文提出一种Leray正则化降阶模型（L-ROM），以稳定在对流主导区域中具有线性乘性噪声的随机Burgers方程的Galerkin降阶模型（G-ROMs）。通过在对流项上应用空间微分滤波器，L-ROM显著减少了虚假的数值振荡，并提高了对噪声幅值变化的鲁棒性，在多个噪声水平下均优于标准G-ROM，在准确性和稳定性方面表现更优。

ABSTRACT

In this paper, we study the numerical stability of reduced order models for convection-dominated stochastic systems in a relatively simple setting: a stochastic Burgers equation with linear multiplicative noise. Our preliminary results suggest that, in a convection-dominated regime, standard reduced order models yield inaccurate results in the form of spurious numerical oscillations. To alleviate these oscillations, we use the Leray reduced order model, which increases the numerical stability of the standard model by smoothing (regularizing) the convective term with an explicit spatial filter. The Leray reduced order model yields significantly better results than the standard reduced order model and is more robust with respect to changes in the strength of the noise.

研究动机与目标

• 研究标准Galerkin降阶模型（G-ROMs）在对流主导的随机流体流动中的数值不稳定性。
• 解决由于高对流主导性和随机PDE中的噪声导致的G-ROM中虚假振荡问题。
• 评估Leray正则化降阶模型（L-ROM）作为随机系统稳定化方法的性能。
• 在不同噪声幅值下，比较G-ROM与L-ROM的准确性和鲁棒性。
• 评估两种模型对噪声强度变化及降阶基维数变化的敏感性。

提出的方法

• 从随机Burgers方程的快照数据中，使用本征正交分解（POD）推导Galerkin降阶模型（G-ROM）。
• 通过在非线性项中引入微分滤波器，实现Leray正则化降阶模型（L-ROM），显式平滑非线性项。
• 使用带有线性乘性噪声的Stratonovich积分随机Burgers方程来模拟随机波动。
• 所有模拟均固定POD基为确定性情况（σ = 0），基于不同噪声水平下观测到的相似性。
• 在L-ROM中使用固定参数δ = 0.12的微分滤波器对对流项进行正则化。
• 在13个噪声幅值（σ ∈ [0, 0.6]）下进行集合模拟（3000个样本），以计算统计误差指标。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准Galerkin ROM在对流主导的随机Burgers方程中是否表现出数值振荡？
• RQ2 在存在噪声的情况下，L-ROM相较于标准G-ROM如何减轻数值振荡？
• RQ3 随着噪声幅值增加，G-ROM与L-ROM的鲁棒性如何变化？
• RQ4 使用来自σ = 0的固定POD基在不同噪声水平下对ROM的准确性有多大影响？
• RQ5 在随机强迫下，L-ROM能否在低维降阶空间中保持准确性和稳定性？

主要发现

• 标准Galerkin ROM（G-ROM）在对流主导区域产生显著的虚假数值振荡，且随噪声幅值增加而加剧。
• L-ROM显著减少了数值振荡，与G-ROM相比得到更准确的解，尤其在低维降阶模型（r = 10）下表现更优。
• 在所有噪声水平下，L-ROM的相对L²误差的均值和方差均显著低于G-ROM，表明其对噪声变化具有更强的鲁棒性。
• 图7中的误差条显示，G-ROM误差的标准差随噪声幅值急剧上升，而L-ROM误差保持稳定且紧密受限。
• 通过3000个集合样本验证了误差指标的统计收敛性，确保了报告误差统计的可靠性。
• 使用来自确定性情况（σ = 0）的固定POD基，其结果与按每条噪声路径更新基的结果相当，仅在误差标准差上略有差异。