[论文解读] Regularized unbalanced optimal transport as entropy minimization with respect to branching Brownian motion

Aymeric Baradat, Hugo Lavenant|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2021

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 4

一句话总结

本文建立了正则化非平衡最优传输（RUOT）与分支Schrödinger问题之间的严格对偶关系，其中后者被表述为相对于分支布朗运动（BBM）的熵最小化问题。证明了RUOT的值是分支Schrödinger问题值的下极限连续包络，并建立了两者解之间的对应关系，且在小噪声极限下收敛于部分最优传输。

ABSTRACT

We consider the problem of minimizing the entropy of a law with respect to the law of a reference branching Brownian motion under density constraints at an initial and final time. We call this problem the branching Schrödinger problem by analogy with the Schrödinger problem, where the reference process is a Brownian motion. Whereas the Schrödinger problem is related to regularized (a.k.a. entropic) optimal transport, we investigate here the link of the branching Schrödinger problem with regularized unbalanced optimal transport. This link is shown at two levels. First, relying on duality arguments, the values of these two problems of calculus of variations are linked, in the sense that the value of the regularized unbalanced optimal transport (seen as a function of the initial and final measure) is the lower semi-continuous relaxation of the value of the branching Schrödinger problem. Second, we also explicit a correspondence between the competitors of these two problems, and to that end we provide a fine description of laws having a finite entropy with respect to a reference branching Brownian motion. We investigate the small noise limit, when the noise intensity of the branching Brownian motion goes to $0$: in this case we show, at the level of the optimal transport model, that there is convergence to partial optimal transport. We also provide formal arguments about why looking at the branching Brownian motion, and not at other measure-valued branching Markov processes, like superprocesses, yields the problem closest to optimal transport. Finally, we explain how this problem can be solved numerically: the dynamical formulation of regularized unbalanced optimal transport can be discretized and solved via convex optimization.

研究动机与目标

• 建立正则化非平衡最优传输（RUOT）与分支Schrödinger问题之间的理论联系，后者是经典Schrödinger问题在分支扩散过程下的变体。
• 证明RUOT的值函数是分支Schrödinger问题值函数的下极限连续包络。
• 表征相对于分支布朗运动具有有限相对熵的概率测度，从而实现两个问题解之间的精确对应。
• 分析分支布朗运动的小噪声极限，证明其在动力学形式下收敛于部分最优传输。
• 为通过离散化后利用凸优化求解动力学RUOT问题提供数值框架。

提出的方法

• 将分支Schrödinger问题表述为在固定初始与最终边缘约束下，相对于分支布朗运动（BBM）律的熵最小化问题。
• 利用对偶性论证，将分支Schrödinger问题的值与RUOT问题的值联系起来，证明后者是前者的下极限连续包络。
• 引入广义伊藤公式及带跳过程的随机分析工具，以表征相对于BBM具有有限熵的律。
• 构造具有可预测的、与时空相关的分支与扩散速率的修正BBM，以建模熵最小化的动力学。
• 证明：任何相对于BBM具有有限相对熵的律，本身必为具有特定可预测强度的BBM，从而在两个问题的备选解之间建立一一对应关系。
• 对RUOT的动力学形式进行离散化，并通过凸优化数值求解，利用所建立的对偶性与结构结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 正则化非平衡最优传输（RUOT）的值与分支Schrödinger问题的值之间有何关系？
• RQ2 相对于分支布朗运动具有有限相对熵的律能否被表征？其具有何种结构？
• RQ3 在小噪声极限下，分支Schrödinger问题会发生什么变化？其与最优传输模型有何关联？
• RQ4 分支Schrödinger问题与RUOT问题的解之间是否存在一一对应关系？
• RQ5 如何利用本文建立的理论框架数值求解动力学RUOT问题？

主要发现

• 正则化非平衡最优传输问题的值是分支Schrödinger问题值的下极限连续包络。
• 任何相对于分支布朗运动具有有限相对熵的概率律，必为具有特定可预测强度的分支布朗运动。
• 在小噪声极限下，由分支Schrödinger问题导出的最优传输模型收敛于部分最优传输问题。
• 在适当条件下，分支Schrödinger问题与RUOT问题的解之间存在一一对应关系。
• 动力学形式的RUOT问题可通过离散化并利用凸优化求解，其过程充分利用了对偶性与结构结果。
• 分支布朗运动是非平衡最优传输的自然参考过程，因其在测度值分支过程中最接近最优传输模型。