[论文解读] Regularizing effect of absorption terms in singular and degenerate elliptic problems

Abdelaaziz Sbai, Youssef El Hadfi|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文研究了带有非线性吸收项 $|u|^{s-1}u$ 和奇异源项 $f/u^{\tau}$（其中 $\tau < 1$）的奇异、退化椭圆PDE解的存在性与正则性。通过截断技术和逼近方法，作者证明吸收项具有正则化效应，在特定参数 $s$、$p$、$\theta$ 和 $\gamma$ 条件下，可提升梯度 $\nabla u$ 的可积性与可 summability 性，从而在Sobolev空间中得到熵解或分布解。

ABSTRACT

In this paper we study the existence and regularity of solutions to the following singular problem \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} &amp;-\displaystyle\mbox{div} \big(a(x,u)| abla u|^{p-2}| abla u|\big) + |u|^{s-1}u =\frac{f}{u^γ} &amp;\mbox{ in } Ω\\ &amp;u&gt;0 &amp;\mbox{ in }Ω\\ &amp;u=0 &amp;\mbox{ on } δΩ\end{array} ight. \end{equation} proving that the lower order term $u|u|^{s-1}$ has some regularizing effects on the solutions in the case of an elliptic operator with degenerate coercivity.

研究动机与目标

• 分析带有非线性吸收项与奇异源项的奇异、退化椭圆PDE的解的存在性与正则性。
• 研究当微分算子具有退化强制性时，低阶项 $|u|^{s-1}u$ 如何对解进行正则化。
• 建立参数 $s$、$p$、$\theta$ 与 $\gamma$ 的充分条件，使得在 $W_0^{1,p}(\Omega)$ 中存在熵解或分布解。
• 通过逼近与截断技术克服算子缺乏强制性及源项奇异性的问题。

提出的方法

• 通过序列 $f_n/u_n^\gamma$（其中 $u_n$ 有界）逼近奇异项 $f/u^\gamma$。
• 使用截断算子 $T_k(u_n)$ 控制解的增长并确保紧致性。
• 对每个逼近水平 $n$，应用Schauder不动点定理证明 $W_0^{1,p}(\Omega)$ 中有界解 $u_n$ 的存在性。
• 利用Hölder不等式与Sobolev嵌入不等式，对 $\nabla u_n$ 与 $u_n$ 建立先验估计。
• 利用Vitali定理与Fatou定理在逼近序列中取极限，得到满足弱形式的极限函数 $u$。
• 通过验证在熵解框架下的收敛性并控制奇异与退化项，证明 $u$ 为熵解。

实验结果

研究问题

• RQ1 吸收项 $|u|^{s-1}u$ 如何影响具有奇异源项的退化椭圆PDE解的正则性？
• RQ2 在 $s$、$p$、$\theta$ 与 $\gamma$ 的何种条件下，吸收项能提升 $\nabla u$ 的可 summability 性？
• RQ3 能否通过截断与逼近方法克服算子 $\text{div}(a(x,u)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ 的强制性缺失问题？
• RQ4 $s$ 的最优范围为何，使得解 $u$ 属于 $M^{\frac{ps}{1+\theta+s-\gamma}}(\Omega)$，从而体现可积性的提升？
• RQ5 在给定 $f$、$a(x,u)$ 与奇异源项的假设下，解 $u$ 是否满足熵解的定义？

主要发现

• 吸收项 $|u|^{s-1}u$ 具有正则化效应，可提升 $\nabla u$ 的可 summability 性，超越无此吸收项时的可能性。
• 当 $0 < s \leq \frac{1+\theta-\gamma}{p-1}$ 时，梯度 $\nabla u$ 属于Lorentz-Marcinkiewicz空间 $M^{\frac{ps}{1+\theta+s-\gamma}}(\Omega)$，表明其可积性得到改善。
• 当 $s \leq \frac{N(1-\gamma)+\gamma}{N-1}$ 时，解 $u$ 为分布解，且 $\nabla u_n$ 在 $L^r(\Omega)$ 中有界，其中 $r < \frac{N(p-1-\theta+\gamma)}{N-1-\theta+\gamma}$。
• 当 $s \geq \frac{N(p-\theta-1)+p\gamma}{N-p}$ 时，解 $u$ 为熵解，此时正则化效应主导奇异与退化结构。
• 逼近解序列 $u_n$ 几乎处处收敛于 $u$，且对所有 $k>0$，有 $T_k(u_n) \rightharpoonup T_k(u)$ 弱*收敛于 $W_0^{1,p}(\Omega)$，确保了解的稳定性。