[论文解读] Reinforced Generation of Combinatorial Structures: Ramsey Numbers

Ansh Nagda, Prabhakar Raghavan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用 0

一句话总结

该论文使用 AlphaEvolve——一个基于大语言模型的代码变异代理——来提升若干 Ramsey 数的下界，并在若干小的 r, s 对上恢复或匹配大量已知界。

ABSTRACT

We present improved lower bounds for five classical Ramsey numbers: $\mathbf{R}(3, 13)$ is increased from $60$ to $61$, $\mathbf{R}(3, 18)$ from $99$ to $100$, $\mathbf{R}(4, 13)$ from $138$ to $139$, $\mathbf{R}(4, 14)$ from $147$ to $148$, and $\mathbf{R}(4, 15)$ from $158$ to $159$. These results were achieved using AlphaEvolve, an LLM-based code mutation agent. Beyond these new results, we successfully recovered lower bounds for all Ramsey numbers known to be exact, and matched the best known lower bounds across many other cases. These include bounds for which previous work does not detail the algorithms used. Virtually all known Ramsey lower bounds are derived computationally, with bespoke search algorithms each delivering a handful of results. AlphaEvolve is a single meta-algorithm yielding search algorithms for all of our results.

研究动机与目标

• 通过构建更大的无 r-clique 或无 s 独立集的图来提高经典 Ramsey 数 R(r,s) 的下界。
• 证明单一元算法可以在多个 (r,s) 目标上生成有效的搜索程序。
• 展示 AlphaEvolve 能在 Ramsey 表中的许多已知单元上恢复或匹配最先进的下界。

提出的方法

• 维持一个生成避免 r-clique 和 s-独立集的图的搜索程序群体。
• 使用 LLM 从选定的父代变异并提出新的搜索程序；执行以生成候选图 (G1, G2)。
• 通过图规模对候选程序进行评分（奖励更大的有效图），以及与 G2 违反期望程度相关的惩罚/奖励，指导探索。
• 应用初始化策略，如随机、代数（Paley、三次剩余）、循环/圆周自举，以及更复杂的混合策略。
• 为特定 (r,s) 单元细化算法并在表 2 中对初始化进行分类；将结果与 Radziszowski（2024）的前沿水平进行比较。
• 利用计数启发式和增量/分层检查在搜索过程中管理团城/独立集评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 AlphaEvolve 是否能在选定的 (r,s) 对上找到比以往方法更大的 Ramsey 数见证图？
• RQ2 AlphaEvolve 在多小 Ramsey 数的已知下界上在多大程度上能恢复或匹配最好的已知下界？
• RQ3 不同的初始化策略如何影响 Ramsey 下界搜索的质量和效率？
• RQ4 演化的搜索算法是否具有可转移的洞见，还是高度针对特定的 (r,s) 目标？
• RQ5 代数结构（如 Paley、循环图）在实现更大有效构造中扮演何种角色？

主要发现

• 新下界：R(3,13)=61、R(3,18)=100、R(4,13)=139、R(4,14)=148、R(4,15)=159。
• AlphaEvolve 已达到或超过 Ramsey 表中 28 个已知单元的最先进下界。
• 该方法在许多其他单元中恢复了所有精确已知界并匹配了最佳已知下界。
• 结果表明单一元算法可以为多样的 Ramsey 目标生成有效的搜索程序。
• AlphaEvolve 发现的算法通常利用代数或循环结构并结合多种启发式方法。
• 工作强调在成功搜索中存在的三种元模式：代数结构的使用、启发式连锁、以及近似计数加速。