[论文解读] Related by Similarity II: Poncelet 3-Periodics in the Homothetic Pair and the Brocard Porism

Dan Reznik, Ronaldo Garcia|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Mathematics and Applications参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文建立了一种可变相似变换，将两组Poncelet 3周期三角形联系起来：一组内接于一组位似同心椭圆对，另一组受Brocard对偶性定理控制，具有固定外接圆和Brocard内切椭圆。主要贡献在于证明了两组三角形均保持Brocard角ω不变，从而保证余切和的不变性，并通过保角映射展示了两组之间的相似性，扩展了关于共焦轨道中r/R不变性的先前结果。

ABSTRACT

Previously we showed the family of 3-periodics in the elliptic billiard (confocal pair) is the image under a variable similarity transform of poristic triangles (those with non-concentric, fixed incircle and circumcircle). Both families conserve the ratio of inradius to circumradius and therefore also the sum of cosines. This is consisten with the fact that a similarity preserves angles. Here we study two new Poncelet 3-periodic families also tied to each other via a variable similarity: (i) a first one interscribed in a pair of concentric, homothetic ellipses, and (ii) a second non-concentric one known as the Brocard porism: fixed circumcircle and Brocard inellipse. The Brocard points of this family are stationary at the foci of the inellipse. A key common invariant is the Brocard angle, and therefore the sum of cotangents. This raises an interesting question: given a non-concentric Poncelet family (limited or not to the outer conic being a circle), can a similar doppelgänger always be found interscribed in a concentric, axis-aligned ellipse and/or conic pair?

研究动机与目标

• 研究两类新型Poncelet 3周期三角形的几何不变量：一类内接于位似椭圆对，另一类处于Brocard对偶性构型中。
• 确定是否存在非同心Poncelet族（例如，具有固定外接圆和Brocard内切椭圆）可通过可变相似变换与同心位似椭圆对中的对应族建立联系。
• 通过可变相似变换在两组之间建立几何对应关系。
• 分析在这些变换下关键三角形量（如Brocard角、余切和、三角形中心轨迹）的不变性。

提出的方法

• 利用仿射变换与相似变换，将位似椭圆对（外椭圆半轴为(a,b)，内椭圆半轴为(a/2,b/2)）与Brocard对偶性族联系起来。
• 采用符号计算与三角恒等式，证明在位似族中面积与边长平方和的不变性。
• 应用已知关系式cot ω = Σsi² / (4A)，证明两组中Brocard角的守恒性。
• 通过固定Brocard点及反射与圆的交点等几何构造，推导出Brocard对偶性族中三角形顶点的参数表达式。
• 使用重心坐标与三线坐标，计算两类族中三角形中心（如X₂、X₃₉）的轨迹。
• 通过符号代数与数值验证确认结果，其中Peter Moses对固定Brocard点族的构造作出了贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可通过对可变相似变换将具有固定外接圆和Brocard内切椭圆的非同心Poncelet族与同心位似椭圆对中的族相关联？
• RQ2 Brocard角是否在整个Brocard对偶性族中保持不变？若是，何种几何或代数条件可确保这一点？
• RQ3 连接位似3周期族与Brocard对偶性族的变换具有何种性质？该变换是否保持角度与关键三角形不变量？
• RQ4 X₂（重心）与X₃₉（Brocard内切椭圆中心）等三角形中心的轨迹在这两组族中如何表现？
• RQ5 是否存在所有具有固定Brocard点的三角形的一般构造方法？该方法能否以代数或几何方式表达？

主要发现

• 位似椭圆对中的3周期三角形族保持面积与边长平方和不变，面积为A = (3√3 ab)/2，Σsi² = (9/2)(a² + b²)。
• Brocard角ω在位似族与Brocard对偶性族中均保持不变，位似情形下cot ω = √3(a² + b²)/(2ab)。
• Brocard对偶性族中Brocard点固定于Brocard内切椭圆的焦点，Brocard圆及其他命名圆的圆心与半径保持不变。
• 位似族与Brocard对偶性族通过可变相似变换相互关联，该变换保持角度，从而解释了Brocard角与余切和的共同守恒性。
• Brocard对偶性族中X₂（重心）的轨迹为圆心位于[0, -√(4a⁴ - 5a²b² + b⁴)/(3b)]、半径为2(a² - b²)/(3b)的圆；位似族中X₃₉（Brocard内切椭圆中心）的轨迹为半轴长(a₃₉, b₃₉) = (c²/2)(a/(a² + 3b²), b/(3a² + b²))的椭圆。
• 若干命名圆（如Brocard圆、Gallatly圆、Moses圆）在Brocard对偶性族中具有固定圆心与不变半径，其半径仅依赖于R与ω，证实了其几何稳定性。