[论文解读] Relating Complexity-theoretic Parameters with SAT Solver Performance

Edward Zulkoski, Ruben Martins+5 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文引入了带重启机制的学习敏感型回溯（LSR）回溯——一种新的复杂性理论参数，通过在CDCL SAT求解器中引入重启机制，扩展了LS回溯。该文提出了一种利用子句吸收技术计算最小LSR回溯大小上界的算法，并证明对于某些公式，最小LSR回溯比最小LS回溯呈指数级缩小，从而解释了工业实例中求解器的高效性。

ABSTRACT

Over the years complexity theorists have proposed many structural parameters to explain the surprising efficiency of conflict-driven clause-learning (CDCL) SAT solvers on a wide variety of large industrial Boolean instances. While some of these parameters have been studied empirically, until now there has not been a unified comparative study of their explanatory power on a comprehensive benchmark. We correct this state of affairs by conducting a large-scale empirical evaluation of CDCL SAT solver performance on nearly 7000 industrial and crafted formulas against several structural parameters such as backdoors, treewidth, backbones, and community structure. Our study led us to several results. First, we show that while such parameters only weakly correlate with CDCL solving time, certain combinations of them yield much better regression models. Second, we show how some parameters can be used as a "lens" to better understand the efficiency of different solving heuristics. Finally, we propose a new complexity-theoretic parameter, which we call learning-sensitive with restarts (LSR) backdoors, that extends the notion of learning-sensitive (LS) backdoors to incorporate restarts and discuss algorithms to compute them. We mathematically prove that for certain class of instances minimal LSR-backdoors are exponentially smaller than minimal-LS backdoors.

研究动机与目标

• 全面评估结构参数（如回溯、树宽和社区结构）对CDCL SAT求解器性能的解释能力。
• 识别在多样化工业与手工构造基准上，哪些参数与求解时间的相关性最强。
• 提出一种新参数——LSR回溯，以反映CDCL求解器中的重启机制，并改进现有回溯模型。
• 提供实证与理论证据，证明LSR回溯可比LS回溯呈指数级缩小，从而解释真实世界实例中求解器的高效性。
• 通过识别工业SAT实例中具有前景的结构特征，为未来的参数复杂性分析与求解器设计提供指导。

提出的方法

• 在SAT竞赛的Application、Crafted和Agile赛道中约7,000个SAT实例上开展了大规模实证评估。
• 为每个实例计算了包括回溯、树宽、骨架和社区结构模块性在内的结构参数。
• 使用回归模型评估单个参数及组合参数对CDCL求解器求解时间的预测能力。
• 提出一种新颖算法，利用先前工作的子句吸收技术，计算最小LSR回溯大小的上界。
• 理论分析表明，决策顺序中无序变量赋值的数量决定了LS回溯大小的下界。
• 证明了在1st-UIP学习且无回溯跳转的假设下，对于某些公式，最小LSR回溯为O(log N)，而最小LS回溯为Ω(N)。

实验结果

研究问题

• RQ1 结构参数（如回溯、树宽和社区结构）与CDCL SAT求解器求解时间的相关性如何？
• RQ2 结构参数的组合是否能显著提升回归模型对求解性能的预测能力，优于单一参数？
• RQ3 LSR回溯与LS回溯有何不同？在何种情况下LSR回溯呈指数级缩小？
• RQ4 工业实例在结构参数值上是否显著优于手工构造或随机实例？
• RQ5 LSR回溯能否作为理解不同CDCL启发式策略有效性的视角，尤其是在存在重启机制的情况下？

主要发现

• 尽管单个结构参数与CDCL求解时间的相关性仅呈弱至中等相关，但某些组合可显著提升回归模型性能，尤其在Agile基准上表现突出。
• Application与Agile实例在结构参数值上显著优于手工构造实例（如更小的回溯、更高的模块性），表明其具有内在的结构优势。
• 所提出的LSR回溯参数能够捕捉重启机制下的求解器行为，并使某些公式的最小回溯规模相比LS回溯呈指数级缩小。
• 对于每个n > 3，均存在一个公式F_n，其最小LSR回溯为O(log N)，而最小LS回溯为Ω(N)，假设无回溯跳转且采用1st-UIP学习。
• 理论分析确认，决策顺序中无序变量赋值的数量直接决定了LS回溯大小的下界。
• 实证结果表明，CDCL求解器在工业实例上表现更优，可能是因为存在大量小型LSR回溯，从而通过重启机制实现更快收敛。