[论文解读] Relation between non-exchangeability and measures of concordance of copulas

Damjana Kokol Bukovšek, Ko\v{s}ir, Toma\v{z}+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 38被引用 17

一句话总结

本文通过分析在某一点处具有固定最大非交换性（非对称性）的对 copula 的局部边界，研究了二元 copula 中非交换性（非对称性）与五个关键等级相关度量——Spearman 等级相关系数 ρ、Kendall 等级相关系数 τ、Gini 的 γ、Blomqvist 的 β 和 Spearman 的脚踏法——之间的关系。主要贡献在于，以非对称性水平为自变量，严格推导出每个等级相关度量的紧致解析边界，表明高非对称性（最高达 μ₈ = 1/3）会使大多数等级相关度量进入负值区域，唯独 Kendall 的 τ 因其对凸组合的二次依赖关系而表现不同。

ABSTRACT

An investigation is presented of how a comprehensive choice of five most important measures of concordance (namely Spearman's rho, Kendall's tau, Gini's gamma, Blomqvist's beta, and their weaker counterpart Spearman's footrule) relate to non-exchangeability, i.e., asymmetry on copulas. Besides these results, the method proposed also seems to be new and may serve as a raw model for exploration of the relationship between a specific property of a copula and some of its measures of dependence structure, or perhaps the relationship between various measures of dependence structure themselves.

研究动机与目标

• 理解等级相关度量与 copula 中非交换性（非对称性）之间的关系，这是依赖建模中一个关键但研究不足的关系。
• 通过研究在特定点处具有固定最大非对称性的更精细 copula 类别，而非更广泛的集合，弥补现有文献中的空白。
• 为五个标准等级相关度量（Spearman 等级相关系数 ρ、Kendall 等级相关系数 τ、Gini 的 γ、Blomqvist 的 β、Spearman 的脚踏法）提供以非对称性水平为自变量的、严格推导出的紧致边界。
• 建立一种新颖的方法论框架，用于研究 copula 的结构性质（如非对称性）与其依赖度量之间的关系，该框架可推广至其他依赖概念。
• 阐明一个出人意料的结果：高非对称性通常导致等级相关度量为负，而 Kendall 的 τ 是例外，因其独特的数学结构。

提出的方法

• 将点 (a,b) ∈ [0,1]² 处的最大非对称函数 d*ₐ,ᵦ 定义为所有 copula C 的 |C(a,b) - C(b,a)| 的上确界。
• 固定一个水平值 c ∈ [0, d*ₐ,ᵦ]，并定义满足 |C(a,b) - C(b,a)| = c 的 copula 集合；该集合被约束为在 (a,b) 处具有固定的非对称性。
• 利用 Fréchet-Hoeffding 边界 W 和 M，显式构造该集合的局部下界和上界，并定义两个 copula：C^(a,b)_c 及其转置，它们在逐点序下为极值。
• 利用逐点序，推导出在固定非对称性水平 c 下，每个等级相关度量的最小值和最大值。
• 分别分析每个等级相关度量（ρ、τ、脚踏法、γ、β），推导出分段定义的函数，给出在给定非对称性水平 m = μ₈(C) 下可实现的最小值和最大值。
• 证明极值在参数三角形 Δₘ 的特定顶点处达到，并表明最小化点与最大化点关于直线 b = m + 1/2 对称。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有具有固定非对称性水平 μ₈ = m 的 copula，给定等级相关度量（如 Spearman 的 ρ、Kendall 的 τ）的可能取值范围是什么？
• RQ2 copula 参数 (a,b) 的选择如何影响在固定非对称性下等级相关度量的极值？
• RQ3 为何 Kendall 的 τ 在高非对称性下表现不同于其他等级相关度量，而其他度量则一致地产生负值？
• RQ4 非对称性度量 μ₈ 与五个标准等级相关度量之间的精确函数关系是什么？
• RQ5 每个等级相关度量的边界是否紧致？若是，它们在哪些 copula 上达到？

主要发现

• 对于任意满足 μ₈(C) = m 的 copula，Spearman 等级相关系数 ρ 的取值范围为 g(m) = 4m² – 1（当 m ≤ 1/4 时）至 h(m) = 1 – 8m²（当 m ≤ 1/6 时），且边界在特定 copula 上达到。
• Kendall 等级相关系数 τ 的取值范围为 g(m) = 4m² – 1（当 m ≤ 1/4 时）至 h(m) = 1 – 8m²（当 m ≤ 1/6 时），其最大值与最小值在与 Spearman 等级相关系数相同的 copula 上达到。
• Gini 的 γ 取值范围为 g(m) = 4m² – 1（当 m ≤ 1/4 时）至 h(m) = 2 – 6m – 3m²（当 m ≥ 1/4 时），其中最大值在 copula C^(m,2m)_m 上达到，最小值在 C^(m,1–m)_m 上达到。
• Blomqvist 的 β 取值范围为 g(m) = –1（当 m ≤ 1/4 时）至 h(m) = 1（当 m ≤ 1/6 时），其中最大值在 C^(m,2m)_m 上达到，最小值在 C^(m,1–m)_m 上达到。
• 当 μ₈(C) = 1/3（最大非对称性）时，除 Kendall 的 τ 外，所有度量均取负值：Spearman 等级相关系数 ρ ∈ [–1, –1/3]，Gini 的 γ ∈ [–4/9, –1/3]，Blomqvist 的 β ∈ [–1, –1/3]，Spearman 的脚踏法 ∈ [–1, –1/3]。
• Kendall 的 τ 是唯一在高非对称性下仍保持正值的度量；当 μ₈(C) = 1/3 时，τ(C) ∈ [–1/3, 1/3]，最大值在 C^(m,2m)_m 上达到，最小值在 C^(m,1–m)_m 上达到。