[论文解读] Relation between two geometrically defined bases in representations of $GL_n$

Alexander Braverman, Dennis Gaitsgory+1 more|ArXiv.org|Nov 11, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明了在 $GL_n$ 的不可约表示的权空间中，Springer 基与 Mirković-Vilonen (MV) 基完全一致。通过几何表示理论，作者比较了两种基于仿射格拉斯曼流形的表示实现方式，并利用 Zastava 空间上的交点上同调计算，借助卷积与 perverse 丛技术，在特征 0 域上的 $GL_n$-表示背景下建立了等价性。

ABSTRACT

Let $V$ be an irreducible representation of group $GL_n({\mathbb C})$, which appears as a submodule in $({\mathbb C}^n)^{\otimes d}$, where ${\mathbb C}^n$ is the tautological $n$-dimensional representation of $GL_n$, and $d$ is a non-negative integer. On the one hand, following refs [Gi] and [BG] one can produce a basis in $V$ using irreducible components of Sringer fibers over a nilpotent matrix in ${\mathfrak {gl}}_d$, whose Jordan blocks correspond to the highest weight of $V$. On the other hand, one can produce a basis in $V$ by Mirković-Vilonen cycles, a construction that works for an arbitrary reductive group $G$. In this note we prove that the resulting to bases coincide.

研究动机与目标

• 建立 $GL_n$-表示中权空间内 Springer 基与 Mirković-Vilonen (MV) 基的等价性。
• 将两种几何构造的表示联系起来：一种通过 Springer 纤维，另一种通过仿射格拉斯曼流形上的球对称 perverse 丛。
• 通过将 $GL_n \times GL_n$ 的两个副本的乘积视为 $\operatorname{Gr}_{GL_n \times GL_n}$，比较两种基。
• 将 $GL_n \times GL_n$ 视为 $GL_{2n}$ 的 Levi 子群，以借助几何 Satake 对应关系实现比较。
• 通过计算 Zastava 空间的交点上同调，证明两个基的识别，建立在 [BFGM] 的结果之上。

提出的方法

• 将 $GL_n$ 的不可约表示 $V^\lambda$ 实现为 $V^{\otimes d}$ 的直和项，其中 $\lambda$ 对应一个极大权。
• 通过对应于 $\lambda$ 的若尔当代数型的幂零矩阵的 Springer 纤维的不可约分量构造 Springer 基。
• 将 MV 基定义为半无限轨道 $S(\mu)$ 与 $\operatorname{Gr}_{GL_n}$ 上不可约球对称 perverse 丛 $\operatorname{IC}^\lambda$ 的支集的交点的不可约分量的集合。
• 利用仿射格拉斯曼流形上的卷积结构，通过球对称 perverse 丛实现表示的张量积，从而得到一个与 Springer 基同构的第三种基。
• 在 $\operatorname{Gr}_{GL_n \times GL_n} \simeq \operatorname{Gr}_{GL_{2n}}$ 上工作，通过将 $GL_n \times GL_n$ 嵌入为 $GL_{2n}$ 的 Levi 子群，实现两种几何基的比较。
• 应用 [BFGM] 中关于 Zastava 空间上同调的结果，得出两个基通过 $X^\mu \times_{X^{(d)}} \operatorname{Mod}_E^d$ 上 perverse 丛的同构而一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $GL_n$-表示的权空间中，Springer 基与 Mirković-Vilonen 基是否一致？
• RQ2 能否通过一个共同的几何框架将两种表示的几何实现——通过 Springer 纤维与通过仿射格拉斯曼流形上的球对称 perverse 丛——联系起来？
• RQ3 在 $\operatorname{Gr}_{GL_n}$ 上通过球对称 perverse 丛的卷积构造出的基是否与 Springer 基等价？
• RQ4 Zastava 空间的交点上同调是否为 $GL_n$ 情形下 Springer 基与 MV 基之间提供了桥梁？
• RQ5 能否通过将 $GL_n \times GL_n \subset GL_{2n}$ 的 Levi 嵌入，将两种基的比较归约为 $\operatorname{Gr}_{GL_{2n}}$ 的几何计算？

主要发现

• 在 $GL_n$ 不可约表示的权空间 $V^\lambda(\mu)$ 中，Springer 基与 Mirković-Vilonen 基存在典范同构。
• 该同构通过证明 $X^\mu \times_{X^{(d)}} \operatorname{Mod}_E^d$ 上同一个 perverse 丛的两种不同构造——一种通过全局 Springer 解消，另一种通过仿射格拉斯曼流形上的卷积——完全一致而建立。
• 关键识别源于两种构造均在 $\overset{\circ}{X}^\mu \times_{X^\mu} \operatorname{Conv}^{\overline{d}'}(\operatorname{Mod}_E)$ 上产生相同的常数 perverse 丛，且该丛在小态射 $p_n$ 下保持不变。
• 全局与纤维上（对每个 $d \cdot x \in X^{(d)}$）均成立的 perverse 丛同构 $\mathfrak{q}(\mu)_!(\mathcal{F}^d_{\text{glob}})[d'(\mu)] \simeq (p_n)_!(\overline{\mathbb{Q}}_\ell[d \cdot n])$ 确认了基的等价性。
• 该证明依赖于映射 $p_n: \operatorname{Conv}^{\overline{d}'}(\operatorname{Mod}_E) \to \operatorname{Mod}_E^d$ 的小性，该性质确保了上推保持 perverse t-结构，并允许将上同调与常数丛识别。
• 最终的基识别是 [BFGM] 中 Zastava 空间交点上同调计算的结果，该结果为等价两种实现提供了必要的几何输入。