[论文解读] Relation identities equivalent to congruence modularity

Paolo Lipparini|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了关于自反关系与容许关系的新关系恒等式，这些恒等式在普遍代数中与模同余性等价。通过利用定向Gumm项与关系复合，作者证明了诸如 $\Theta(S \circ S) \subseteq (\Theta S)^*$ 的恒等式可表征模同余性，从而在传统基于项的定义之外，提供了全新的代数表征方式。

ABSTRACT

We present some identities dealing with reflexive and admissible relations and which, through a variety, are equivalent to congruence modularity.

研究动机与目标

• 识别在代数种类中与模同余性等价的新关系恒等式。
• 将模同余性的表征从基于项的恒等式扩展至包含自反与容许关系的恒等式。
• 阐明关系恒等式与模同余种类中定向Gumm项或Day项存在性之间的关系。
• 提供一个框架，通过关系复合与闭包运算系统地分析容差与同余恒等式。

提出的方法

• 本文引入了关系记号：并列表示交集，$\circ$ 表示复合，$R^{\smallsmile}$ 表示逆关系，$R^*$ 表示传递闭包，$\overline{R}$ 表示包含 $R$ 的最小自反且容许的关系。
• 定义 $\Theta_R$ 为包含自反且容许关系 $R$ 的最小容差，从而使得容差可作为恒等式中的变量使用。
• 核心方法在于证明某些关系包含关系（如 $\Theta(S \circ S) \subseteq (\Theta S)^*$）在某一类中成立，当且仅当该类是模同余的。
• 通过由项的公理推导出的一系列恒等式，建立了这些关系恒等式与定向Gumm项存在性之间的等价性。
• 本文使用 $S + T = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} S \circ_m T$ 的概念来建模关系的并运算，并将其与同余格运算联系起来。
• 证明了恒等式 $\Theta(S \circ S^\smallsmile) \subseteq \Theta S \circ_{k-1} \Theta S^\smallsmile$ 成立当且仅当该类具有 $k+1$ 个Day项，从而将关系恒等式与Day项序列中的项数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些涉及自反与容许关系的恒等式在种类中与模同余性等价？
• RQ2 关系复合与闭包如何与定向Gumm项的存在性相关？
• RQ3 能否通过关系恒等式表征模同余种类中Day项的数量？
• RQ4 当对恒等式进行微小修改时，是否会推出更强的性质，如分配性或m-可换性？
• RQ5 容差-based恒等式在普遍代数中在多大程度上可以替代基于项的表征？

主要发现

• 恒等式 $\Theta(S \circ S) \subseteq (\Theta S)^*$ 在某一类中成立，当且仅当该类是模同余的。
• 恒等式 $\Theta(S \circ S^\smallsmile) \subseteq (\Theta S \circ \Theta S^\smallsmile)^*$ 与模同余性等价。
• 恒等式 $\Theta(S \circ T)^* \subseteq \Theta(\overline{S \cup T}) \circ (\Theta S \circ \Theta T)^*$ 表征了模同余性。
• 恒等式 $\Theta(S \circ S^\smallsmile) \subseteq \Theta S \circ_{k-1} \Theta S^\smallsmile$ 成立当且仅当该类具有 $k+1$ 个Day项。
• 恒等式 (1.1) 的一个变体 $\Theta(S \circ S) \subseteq (\Theta S^\smallsmile)^*$ 严格强于模同余性，且蕴含了对某个 $m$ 的m-可换性。
• 恒等式 $\Theta(S \circ T^\smallsmile) \subseteq (\Theta S \circ \Theta T^\smallsmile)^*$ 与模同余性等价，而非与模同余性等价。