[论文解读] Relation matroid and its relationship with generalized rough set based on relation

Yanfang Liu, William Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文提出了基于二元关系的广义粗糙集邻域导出的前驱与后继关系拟阵，建立了关系与拟阵之间的双向联系。证明了任一关系可诱导出一个拟阵，其圈生成一个等价关系，并表明当关系为等价关系时，粗糙集中的上近似算子与拟阵中的闭包算子完全一致。

ABSTRACT

Recently, the relationship between matroids and generalized rough sets based on relations has been studied from the viewpoint of linear independence of matrices. In this paper, we reveal more relationships by the predecessor and successor neighborhoods from relations. First, through these two neighborhoods, we propose a pair of matroids, namely predecessor relation matroid and successor relation matroid, respectively. Basic characteristics of this pair of matroids, such as dependent sets, circuits, the rank function and the closure operator, are described by the predecessor and successor neighborhoods from relations. Second, we induce a relation from a matroid through the circuits of the matroid. We prove that the induced relation is always an equivalence relation. With these two inductions, a relation induces a relation matroid, and the relation matroid induces an equivalence relation, then the connection between the original relation and the induced equivalence relation is studied. Moreover, the relationships between the upper approximation operator in generalized rough sets and the closure operator in matroids are investigated.

研究动机与目标

• 通过邻域结构，建立基于二元关系的广义粗糙集与拟阵理论之间的正式联系。
• 基于二元关系的前驱与后继邻域，定义并分析前驱与后继关系拟阵。
• 研究拟阵如何通过其圈诱导出一个等价关系，以及该关系与原始关系之间的关联。
• 比较广义粗糙集中上近似算子与拟阵中闭包算子的关系，识别二者相等的条件。

提出的方法

• 从二元关系 R 在全集 U 上的可达性结构出发，定义前驱与后继邻域。
• 基于邻域构造两种拟阵——前驱与后继关系拟阵，其中以后继拟阵为主要研究对象。
• 使用标准拟阵概念（如相关集合、圈、秩函数与闭包算子）表征拟阵，所有概念均以关系的邻域结构表达。
• 通过定义 xR(M)y 当且仅当 {x,y} 是圈或 x=y，从拟阵诱导出一个关系，证明该诱导关系恒为等价关系。
• 比较拟阵的闭包算子与诱导关系的上近似算子，证明当原始关系为等价关系时二者相等。
• 建立双向诱导关系：关系可诱导出拟阵，而拟阵又能诱导出等价关系，证明诱导出的等价关系等于原始关系当且仅当原始关系为等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用二元关系的前驱与后继邻域构造拟阵？
• RQ2 由二元关系诱导的关系拟阵的关键拟阵理论性质（如圈、闭包）是什么？
• RQ3 拟阵能否诱导出一个关系？若能，该构造产生的关系类型为何？
• RQ4 拟阵的闭包算子与诱导关系的上近似算子在何种条件下相等？
• RQ5 原始二元关系与由其关联的关系拟阵诱导出的等价关系之间存在何种关系？

主要发现

• 由二元关系 R 诱导的后继关系拟阵可完全通过 R 的后继邻域结构表征。
• 当且仅当 R 为等价关系时，关系拟阵的闭包算子与基于 R 的广义粗糙集中上近似算子相等。
• 拟阵通过其圈可诱导出一个关系 R(M)，且该诱导关系恒为等价关系。
• 当且仅当 R 为等价关系时，关系拟阵 M(R) 诱导出的等价关系等于原始关系 R。
• 诱导出的等价关系 R(M(R)) 可显式表示为 {(x,y) ∈ U×U : RS_R(x) = RS_R(y)}。
• 拟阵中单元素集 {x} 的闭包等于诱导等价关系中 {x} 的上近似，再加上所有构成圈的单元素集。