[论文解读] Relation-theoretic contraction principle in metric-like as well as partial metric spaces

Md Ahmadullah, Abdur Rauf Khan+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过引入任意二元关系，将巴拿赫压缩原理推广到度量似空间和部分度量空间，基于关系理论的压缩条件建立了新的不动点定理。主要贡献在于提出了更精细的不动点结果，通过引入关系完备性和连续性，推广了现有文献。该理论应用于积分型压缩条件，并通过一个具体例子展示了在温和条件下不动点的唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we extend the Banach contraction principle to metric-like as well as partial metric spaces (not essentially complete) equipped with an arbitrary binary relation. Thereafter, we derive some fixed point results which are sharper versions of the corresponding known results of the existing literature. Finally, we use an example to demonstrate our main result.

研究动机与目标

• 将巴拿赫压缩原理推广至不一定完备的度量似空间和部分度量空间。
• 将任意二元关系引入压缩框架，实现关系理论下的不动点结果。
• 通过引入关系完备性和连续性概念，建立比现有文献更精细的不动点定理。
• 利用勒贝格可积函数，将结果推广至积分型压缩条件。
• 提供一个具体例子，展示在所提条件下不动点的适用性与唯一性。

提出的方法

• 在度量似空间的子集上引入 $\sigma$-自闭二元关系，以确保 $\sigma$-保持序列的收敛性。
• 定义 $\sigma$-完备和 $\sigma$-自闭关系，以在关系约束下推广度量似空间中的完备性。
• 应用关系理论压缩条件：$\sigma(fx,fy) \leq k\sigma(x,y)$，其中 $k \in [0,1)$ 且 $(x,y) \in \mathcal{R}$。
• 引入积分型压缩条件：$\int_0^{\sigma(fx,fy)} \rho(t)dt \leq k \int_0^{\sigma(x,y)} \rho(t)dt$，其中 $\rho \in \Omega$，$\Omega$ 为任意正区间上积分为正的勒贝格可积函数类。
• 利用 $\mathcal{R}$ 的 $f$-闭性，确保关系在映射 $f$ 下保持不变。
• 采用序列构造方法，利用 $\mathcal{R}$-保持的柯西序列，并在关系完备性和连续性条件下证明收敛至唯一不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 巴拿赫压缩原理能否在不假设完备性的度量似空间中推广？
• RQ2 如何利用任意二元关系来细化度量似空间和部分度量空间中的不动点条件？
• RQ3 哪些关系完备性和连续性条件可确保在压缩映射下不动点的存在性与唯一性？
• RQ4 结果能否推广至度量似空间中的积分型压缩条件？
• RQ5 所提出的框架是否能产生比现有文献中不动点定理更精细的结果？

主要发现

• 本文证明，在 $\mathcal{R}$-完备性和 $f$-闭性条件下，若映射 $f$ 满足 $\sigma(fx,fy) \leq k\sigma(x,y)$（$k \in [0,1)$），则其在 $Y \subseteq X$ 中存在不动点。
• 若对所有 $x,y \in X$，有 $\Upsilon(fx,fy,\mathcal{R}^s)$ 非空，则不动点唯一，确保关系可比性。
• 一个例子表明，定义在 $X = \{a,b,c\}$ 上的映射 $f$ 满足 $\sigma(fa,fc) = 1$ 且 $\sigma(a,c) = 2$，当 $k \in [\frac{1}{2},1)$ 时满足压缩条件，且在 $b$ 处存在唯一不动点。
• 积分型压缩条件 $\int_0^{\sigma(fx,fy)} \rho(t)dt \leq k\int_0^{\sigma(x,y)} \rho(t)dt$ 在相同的关联与完备性假设下，也导致唯一不动点。
• 该结果推广了 Aydi 与 Karapinar（2012）的推论 3.6，为度量似空间提供了更精细的版本。
• 该框架适用于度量似空间和部分度量空间，且度量似空间类严格大于部分度量空间类。