[论文解读] Relation-theoretic metrical fixed point theorems under nonlinear contractions

Ahmadullah, Mohammad Imdad+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文在赋予任意二元关系的度量空间中建立了非线性压缩映射的新不动点定理，推广并统一了Samet与Turinici（2012）以及Alam与Imdad（2015）的结果。通过引入关系理论条件如f-闭性、R-完备性及d-自闭性，作者在弱于完备性或对称性的假设下证明了不动点的存在性与唯一性，并通过实例展示了在非完备与非对称设定下的适用性。

ABSTRACT

We establish fixed point theorems for nonlinear contractions on a metric space (not essentially complete) endowed with an arbitrary binary relation. Our results extend, generalize, modify and unify several known results especially those contained in Samet and Turinici [Commun. Math. Anal. 13, 82-97 (2012)] and Alam and Imdad [J. Fixed Point Theory Appl. 17(4), 693-702 (2015)]. Interestingly a corollary to one of our main results proved under symmetric closure of any binary relation remains a sharpened version of a theorem due to Samet and Turinici. Finally, we use examples to highlight the realized improvements in the results proved in this paper.

研究动机与目标

• 通过引入任意二元关系，推广并统一现有非线性压缩映射在度量空间中的不动点定理。
• 放松对度量空间完备性及关系对称性的要求，使结果适用于更广泛的情形。
• 通过引入f-闭性与d-自闭性等关系理论条件，推广Samet与Turinici（2012）以及Alam与Imdad（2015）的结果。
• 通过实例展示新定理的实用性，说明在缺乏完备性或对称性时，以往结果失效的情形。
• 通过在对称闭包下得到推论，提供Samet与Turinici定理的强化版本，提升其适用范围。

提出的方法

• 引入并使用f-闭二元关系的概念，即若(x,y) ∈ R，则(fx,fy) ∈ R。
• 将R-完备性定义为X中每个保持R关系的柯西序列收敛，从而弱化对完整度量空间的依赖。
• 采用关系R的d-自闭性，确保对任意保持R关系的收敛序列，存在子列满足[x_{n_k}, x] ∈ R。
• 使用对称闭包S = R ∪ R⁻¹，推广Samet与Turinici（2012）的条件，尤其在正则性与方向性方面。
• 在压缩条件中使用非线性控制函数φ ∈ Φ（递增、次次可加），形式为：d(fx,fy) ≤ φ( (d(x,fy) + d(y,fx))/2 )。
• 引入R-方向集的概念，以确保存在共同上界，支持不动点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过使用任意二元关系，将非线性压缩映射的不动点定理推广至非完备度量空间？
• RQ2 先前结果（如Samet与Turinici，2012）中对称性与完备性假设在多大程度上可被放松？
• RQ3 关系R的f-闭性与d-自闭性在不动点存在性与唯一性中起何作用？
• RQ4 新结果能否在非对称或非完备空间中统一或改进Samet与Turinici（2012）以及Alam与Imdad（2015）的定理？
• RQ5 R的对称闭包S在确保正则性及支持不动点定理应用中起何作用？

主要发现

• 本文在f-闭性、R-完备性、d-自闭性及含φ的非线性压缩条件下，证明了不动点定理（定理2.1），即使在非完备度量空间中也成立。
• 在R的对称闭包S下，定理2.1的推论给出了Samet与Turinici（2012）结果的强化版本，适用于其原始定理不成立的情形。
• 例4.1表明，该结果适用于非完备与非对称的关系，而以往定理（如Samet与Turinici的）不成立。
• 例4.2表明，新结果（如推论2.8）在度量空间非完备时仍适用，而Samet与Turinici的定理1.17不适用。
• 例4.3证实，新压缩条件（定理2.1）严格强于Alam与Imdad（2015）的条件，即其不满足后者条件但仍保证不动点存在。
• 当fX为R-方向集且R|fX完备时，不动点唯一，如例4.1所示，验证了定理2.5与2.7中唯一性条件的有效性。