[论文解读] Relational lattices via duality

Luigi Santocanale|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Data Management and Algorithms参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文利用对偶理论，通过广义超度量空间刻画关系格，基于对偶空间的对称性与成对完备性建立等式公理化体系。证明了在纯格语言下关系格的准等式理论是不可判定的，通过从通用 S5^n-积框架出发的 p-同态将该问题与模态逻辑联系起来。

ABSTRACT

The natural join and the inner union combine in different ways tables of a relational database. Tropashko [18] observed that these two operations are the meet and join in a class of lattices-called the relational lattices- and proposed lattice theory as an alternative algebraic approach to databases. Aiming at query optimization, Litak et al. [12] initiated the study of the equational theory of these lattices. We carry on with this project, making use of the duality theory developed in [16]. The contributions of this paper are as follows. Let A be a set of column's names and D be a set of cell values; we characterize the dual space of the relational lattice R(D, A) by means of a generalized ultrametric space, whose elements are the functions from A to D, with the P (A)-valued distance being the Hamming one but lifted to subsets of A. We use the dual space to present an equational axiomatization of these lattices that reflects the combinatorial properties of these generalized ultrametric spaces: symmetry and pairwise completeness. Finally, we argue that these equations correspond to combinatorial properties of the dual spaces of lattices, in a technical sense analogous of correspondence theory in modal logic. In particular, this leads to an exact characterization of the finite lattices satisfying these equations.

研究动机与目标

• 使用对偶理论，在纯格语言下发展关系格的等式公理化体系。
• 将关系格 R(D,A) 的对偶空间表征为具有 P(A)-值汉明距离的广义超度量空间。
• 将对偶空间的组合性质——对称性与成对完备性——与格理论中的等式律联系起来。
• 通过将存在 p-同态从通用 S5^n-积框架映射到初始框架的问题归约，建立关系格的准等式理论的不可判定性。
• 将对偶理论扩展至无限格，并探索其在关系格中对应理论的潜力。

提出的方法

• 将关系格 R(D,A) 表征为完全空间格，并将其中完全不可约元素识别为 A ⊔ D^A。
• 在 D^A 上构造一个 P(A)-值超度量空间作为对偶空间，其中距离 δ(f,g) = {x ∈ A | f(x) ≠ g(x)}。
• 通过不可约元素的最小并覆盖来定义 R(D,A) 的 OD-图，其中 f ∈ D^A 的最小覆盖为 δ(f,g) ∪ {g}（g ≠ f）。
• 利用对偶框架将格等式转化为对偶空间的组合性质，类比模态逻辑中的对应理论。
• 当且仅当对应格可嵌入关系格时，存在从通用 S5^n-积框架到全初始框架的满 p-同态。
• 利用模态逻辑中已知的不可判定性结果，推断出关系格的准等式理论的不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在纯格语言下，哪些等式律支配关系格？这些律如何从其对偶空间的结构性质推导而来？
• RQ2 对偶空间的组合性质——特别是对称性与成对完备性——能否用于公理化关系格的等式理论？
• RQ3 关系格等式理论中的等式是否与它们的对偶超度量空间的几何或拓扑特征存在对应关系？
• RQ4 对偶理论在多大程度上可被扩展至无限关系格？会涌现出何种新的对应机制？
• RQ5 从通用 S5^n-积框架到给定框架存在 p-同态，是否精确对应于相关格可嵌入关系格？

主要发现

• 关系格 R(D,A) 的对偶空间是定义在 D^A 上的 P(A)-值超度量空间，其中距离 δ(f,g) = {x ∈ A | f(x) ≠ g(x)}。
• D^A 中元素的最小并覆盖由 δ(f,g) ∪ {g} 表征，这些结构构成了等式公理的基础。
• 关系格的等式理论由对偶空间的对称性与成对完备性公理化，这些性质对应于格等式。
• 当且仅当相关格可嵌入关系格时，存在从通用 S5^n-积框架到全初始框架的满 p-同态。
• 在纯格语言下，关系格的准等式理论是不可判定的，这是通过归约到模态逻辑中 p-同态存在性的不可判定性而证明的。
• 研究结果建立了格等式与对偶空间组合性质之间的一种新对应关系，将对偶理论的适用范围扩展至关系格。