[论文解读] Relational Semantics for the Turing Schmerl Calculus

Eduardo Hermo Reyes, Joost J. Joosten|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文为图灵施梅尔微积分（TSC）引入了一种关系语义，这是一种形式化证明论中迭代一致性陈述之间关系的模态逻辑。通过修改伊格纳蒂耶夫的GLP通用模型，作者构建了一个模型 $\mathcal{J}$，该模型作为TSC的通用框架，通过标准模型构造和对单项正则形式中不可证性的新颖刻画，证明了其完备性。

ABSTRACT

In arXiv:1604.08705 the authors introduced the propositional modal logic $ extbf{TSC}$ (which stands for Turing Schmerl Calculus) which adequately describes the provable interrelations between different kinds of Turing progressions. The current paper defines a model $\mathcal{J}$ which is proven to be a universal model for $ extbf{TSC}$. The model $\mathcal{J}$ is a slight modification of the intensively studied $\mathcal{I}$ : Ignatiev's universal model for the closed fragment of Gödel Löb's polymodal provability logic $ extbf{GLP}$.

研究动机与目标

• 为图灵施梅尔微积分（TSC）提供一种关系语义，该逻辑捕捉了不同类型图灵进展之间关系。
• 通过修改伊格纳蒂耶夫对GLP闭合片段的通用框架，为TSC建立一个通用模型。
• 证明TSC相对于所提出的语义关系的完备性。
• 使用序数参数和超指数函数刻画单项正则形式中的不可证性。
• 在模态证明系统中形式化施梅尔的精细结构定理，使用约化与共加法公理。

提出的方法

• 作者定义了伊格纳蒂耶夫通用模型的一个修改版本，记为 $\mathcal{J}$，该模型作为TSC的标准模型。
• 他们引入了单项正则形式（MNF）作为公式的正则形式，确保仅考虑具有特定指数约束的公式。
• TSC的公理化包括单调性、共加法、约化和施梅尔公式公理，以及标准逻辑规则。
• 在模型 $\mathcal{J}$ 上定义了强制关系 $\Vdash$，其中 $x \Vdash \varphi$ 通过 $I$ 中无限序数序列的逐分量比较来解释。
• 关键技术工具是使用超指数函数 $e^n(\alpha)$，其推广了序数幂运算，并确保在逻辑操作下保持封闭。
• 通过反证法证明完备性：若 $\varphi \not\vdash \psi$，则存在模型中的点 $x_\varphi$，使得 $x_\varphi \Vdash \varphi$ 但 $x_\varphi \not\Vdash \psi$，从而表明 $\varphi \not\models \psi$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为图灵施梅尔微积分（TSC）构建一种关系语义，以捕捉图灵进展之间所有有效关系？
• RQ2 修改后的伊格纳蒂耶夫模型 $\mathcal{J}$ 如何作为TSC的通用框架，其结构变化与原始 $\mathcal{I}$ 有何不同？
• RQ3 单项正则形式与超指数函数在刻画TSC中可证性与不可证性方面发挥什么作用？
• RQ4 TSC中的约化与施梅尔公理如何对应于证明论中的已知结果，如施梅尔的精细结构定理？
• RQ5 TSC相对于所提出的语义关系是否完备，以及如何建立这种完备性？

主要发现

• 模型 $\mathcal{J}$ 是伊格纳蒂耶夫通用模型 $\mathcal{I}$ 的微小修改，被证明是TSC的通用模型，可验证所有TSC可推导的公式。
• TSC被证明在形式化图灵进展（FTP）解释下具有算术上的正确性与完备性。
• 在单项正则形式中，公式之间的不可证性通过存在一个基 $m_I$ 来刻画，使得 $\pi_{m_I}(\varphi) < \pi_{m_I}(\psi)$，其中 $\pi_m(\varphi)$ 表示在基 $m$ 处的序数参数。
• 通过标准模型构造证明了TSC的完备性：若 $\varphi \models \psi$，则 $\varphi \vdash \psi$，该结论通过反证法证明，使用一个满足 $\varphi$ 但不满足 $\psi$ 的点 $x_\varphi$。
• 模型 $\mathcal{J}$ 上的强制关系 $\Vdash$ 通过逐分量比较和对超指数函数 $e^n$ 的封闭性来定义，确保模态公式在模型中的一致解释。
• 模型 $\mathcal{J}$ 确保每个单项正则形式的公式都是模态可定义的，且有限支撑序列足以捕捉所有可定义集合，排除了非模态可定义序列（如常数 $\varepsilon_0$ 序列）。