[论文解读] Relational semantics of linear logic and higher-order model-checking

Charles Grellois, Paul-André Melliès|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文通过证明线性逻辑的相依语义自然编码了高阶递归方案（HORS）与交替树自动机（ATA）之间的关系，建立了线性逻辑与高阶模型检测之间的新联系，其交互作用决定了生成的无限树的接受性。关键贡献在于在线性逻辑中引入了一个参数化的指数模态，用于捕捉优先级游戏的结构，为小林-冈的类型论方法提供了语义基础，并给出了高阶递归方案上一阶第二阶逻辑可判定性的纯粹语义证明。

ABSTRACT

In this article, we develop a new and somewhat unexpected connection between higher-order model-checking and linear logic. Our starting point is the observation that once embedded in the relational semantics of linear logic, the Church encoding of any higher-order recursion scheme (HORS) comes together with a dual Church encoding of an alternating tree automata (ATA) of the same signature. Moreover, the interaction between the relational interpretations of the HORS and of the ATA identifies the set of accepting states of the tree automaton against the infinite tree generated by the recursion scheme. We show how to extend this result to alternating parity automata (APT) by introducing a parametric version of the exponential modality of linear logic, capturing the formal properties of colors (or priorities) in higher-order model-checking. We show in particular how to reunderstand in this way the type-theoretic approach to higher-order model-checking developed by Kobayashi and Ong. We briefly explain in the end of the paper how his analysis driven by linear logic results in a new and purely semantic proof of decidability of the formulas of the monadic second-order logic for higher-order recursion schemes.

研究动机与目标

• 在线性逻辑的关系语义中建立高阶递归方案（HORS）与交替树自动机（ATA）之间的对偶性。
• 通过引入一个参数化的指数模态，将这种对偶性扩展到交替优先级自动机（APT），以在高阶模型检测中建模优先级颜色。
• 对小林与冈所发展的高阶模型检测类型论方法进行语义重构。
• 提供一个纯粹语义的、可组合的高阶递归方案上一阶第二阶逻辑（MSO）可判定性的证明，独立于句法或自动机理论构造。

提出的方法

• 将HORS与ATA嵌入线性逻辑的关系语义中，其交互作用用于检查由HORS生成的无限树的接受性。
• 在线性逻辑中引入一个参数化的指数模态，以捕捉交替优先级自动机中颜色（优先级）的形式性质。
• 使用分配律和参数化余单子，在类型论框架中建模HORS与ATA之间的交互作用。
• 基于带子类型的交集类型，构建线性逻辑的无穷关系语义的有限版本，采用素代数格语义。
• 在余单子的Kleisli范畴中定义不动点算子为交替的最小/最大不动点公式：$ Yf = \nu x_n.\mu x_{n-1}\dots\nu x_0.f(x_0,\dots,x_n) $，其中 $ n $ 为偶数。
• 利用此语义模型，推导出高阶递归方案上MSO可判定性的组合性、纯粹语义证明，推广了先前基于句法或自动机的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性逻辑的关系语义如何作为HORS与交替树自动机的统一框架？
• RQ2 高阶模型检测中优先级（颜色）使用的范畴与逻辑结构是什么？如何在线性逻辑中捕捉这一结构？
• RQ3 小林与冈的高阶模型检测类型论方法能否通过线性逻辑的语义原则进行重构？
• RQ4 是否存在一个纯粹语义的、独立于自动机理论构造的高阶递归方案上MSO可判定性的证明？
• RQ5 线性逻辑中的参数化余单子与分配律如何支持$\lambda Y$-演算带不动点算子的组合性模型的构建？

主要发现

• 线性逻辑的关系语义为HORS与ATA提供了自然的对偶性，其解释之间的交互作用决定了生成的无限树的接受性。
• 在线性逻辑中引入参数化指数模态，成功地建模了交替优先级自动机的优先级结构，推广了标准指数模态。
• 该语义框架恢复并重新解释了小林与冈的类型论方法，作为线性逻辑中底层余单子结构的推论。
• 构建了线性逻辑的有限、素代数格语义，实现了高阶递归方案上MSO可判定性的纯粹语义证明。
• 该模型中的不动点算子由交替公式 $ Yf = \nu x_n.\mu x_{n-1}\dots\nu x_0.f(x_0,\dots,x_n) $ 给出，该公式被证明是Conway算子，确保了一致性与组合性。
• 由此产生的模型为高阶模型检测提供了组合性、语义化的描述，用范畴与逻辑原理取代了句法或自动机理论构造。