[论文解读] Relations between dynamical degrees, Weil's Riemann hypothesis and the standard conjectures

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文证明了在代数闭域上光滑射影概形的自同态中，l进上同调上的拉回的谱半径（$\chi(f)$）等于尼龙-塞弗雷群上的谱半径（$\lambda(f)$），即 $\chi(f) = \lambda(f)$，其证明基于德利涅对韦伊黎曼猜想的证明。该结果解决了埃斯瑙尔与斯里尼瓦斯提出的问题，并表明代数熵 $\log \chi(f)$ 既是双有理不变量，也是平展不变量。

ABSTRACT

Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field, $X$ a smooth projective variety over $\mathbb{K}$ and $f:X ightarrow X$ a dominant regular morphism. Let $N^i(X)$ be the group of algebraic cycles modulo numerical equivalence. Let $χ(f)$ be the spectral radius of the pullback $f^*:H^*(X,\mathbb{Q}_l) ightarrow H^*(X,\mathbb{Q}_l)$ on $l$-adic cohomology groups, and $λ(f)$ the spectral radius of the pullback $f^*:N^*(X) ightarrow N^*(X)$. We prove in this paper, by using consequences of Deligne's proof of Weil's Riemann hypothesis, that $χ(f)=λ(f)$. This answers affirmatively a question posed by Esnault and Srinivas. Consequently, the algebraic entropy $\log χ(f)$ of an endomorphism is both a birational invariant and étale invariant. More general results are proven if either $\mathbb{K}=\overline{\mathbb{F}_p}$ or the Fundamental Conjecture D (numerical equivalence vs homological equivalence) holds. Among other results in the paper, we show that if some properties of dynamical degrees, known in the case $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, hold in positive characteristics, then simple proofs of Weil's Riemann hypothesis follow.

研究动机与目标

• 证明在代数闭域上，自同态的 l 进上同调谱半径（$\chi(f)$）等于数值循环上的谱半径（$\lambda(f)$）
• 解决埃斯瑙尔与斯里尼瓦斯提出关于 $\chi(f)$ 与 $\lambda(f)$ 相等性的问题
• 证明代数熵 $\log \chi(f)$ 同时是双有理不变量与平展不变量
• 探讨正特征下动力度数性质对证明韦伊黎曼猜想的启示作用

提出的方法

• 以德利涅对韦伊黎曼猜想的证明为基础，将上同调谱半径与数值谱半径联系起来
• 应用基本猜想 D（数值等价 = 同调等价），将特征零的结果推广至正特征情形
• 构造对应关系 $f_n = (\pi \times \pi)^* \Gamma_{g_n}$，通过有限态射 $\pi: X \to Y$ 将概形 $X$ 上的动力系统与射影空间 $Y$ 上的动力系统联系起来
• 利用范数估计与交比理论，通过拉回与上推，比较 $\| (f^n)^* |_{H^{2i}(X,\mathbb{Q}_l)} \|$ 与 $\| g_n^* |_{H^{2i}(Y,\mathbb{Q}_l)} \|$
• 应用分解 $H^*(X,\mathbb{Q}_l) = \pi^* H^*(Y,\mathbb{Q}_l) \oplus \ker(\pi_*)$，将来自基空间的上同调贡献分离出来
• 利用 $\mathbb{P}^k$ 的上同调由代数循环生成的性质，简化估计并建立不等式

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，$\chi_i(f)$ 对所有 $i$ 是否有限？
• RQ2 是否对所有 $i$ 都有 $\chi_{2i}(f) = \lambda_i(f)$？
• RQ3 在正特征下，相对动力度数是否满足乘积公式？
• RQ4 丁氏不等式 $\chi_i(f)^2 \leq \max_{p+q=i} \lambda_p(f)\lambda_q(f)$ 是否成立？
• RQ5 在正特征下，$\chi_{2i}(f)$ 是否为双有理不变量？

主要发现

• l 进上同调上的谱半径等于数值循环上的谱半径：$\chi(f) = \lambda(f)$
• 代数熵 $\log \chi(f)$ 同时是双有理不变量与平展不变量
• $\chi_i(f)$ 的有限性由韦伊黎曼猜想与基本猜想 D 推出
• 若在正特征下，已知在 $\mathbb{C}$ 上成立的动力度数性质依然成立，则可导出韦伊黎曼猜想的简洁证明
• 不等式 $\|(f^n)^*|_{H^{2i}(X,\mathbb{Q}_l)}\| \geq \|g_n^*|_{H^{2i}(Y,\mathbb{Q}_l)}\|$ 在一致常数范围内成立，从而可比较增长速率
• X 上的上同调拉回可分解为 Y 上拉回的复合，且 $H^{2i}(X,\mathbb{Q}_l)$ 上的范数下界为 $H^{2i}(Y,\mathbb{Q}_l)$ 上范数的倍数