[论文解读] Relations Between partial Metric Spaces and M-Metric Spaces, Caristi Kirk's Theorem in $M-$Metric Type Spaces

Kamaleldin Abodayeh, Nabil Mlaiki+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文建立了偏度量空间与M-度量空间之间的关系，证明了每个偏度量空间都是M-度量空间，但反之不成立。通过修正先前证明中的漏洞，将Caristi-Kirk不动点定理推广到M-度量空间，并通过具体例子验证了该推广，展示了在完备M-度量空间中，下连续函数条件下不动点的存在性。

ABSTRACT

Very recently, Mehadi et al [M. Asadi, E. Karapınar, and P. Salimi, New extension of partial metric spaces with some fixed-point results on $M-$metric spaces] extended the partial metric spaces to the notion of $M-$metric spaces. In this article, we study some relations between partial metric spaces and $M-$metric spaces. Also, we generalize Caristi Kirki's Theorem from partial metric spaces to $M-$metric spaces, where we corrected some gaps in the proof of the main Theorem in E. Karapınar [E. Karapınar, Generalizations of Caristi Kirk's Theorem on Partial Metric Spaces, Fixed Point Theory Appl. 2011: 4, (2011)]. We close our contribution by introducing some examples to validate and verify our extension results.

研究动机与目标

• 阐明偏度量空间与M-度量空间之间的数学关系，表明每个偏度量空间都是M-度量空间，但反之不成立。
• 将Caristi-Kirk不动点定理从偏度量空间推广到M-度量空间，修正早期证明中的不准确之处。
• 在完备M-度量空间中，通过下连续实值函数建立自映射具有不动点的条件。
• 通过M-度量空间的具体例子（非偏度量空间）验证理论推广的有效性。
• 证明M-度量所诱导的拓扑可以是离散的，从而使得不动点定理在该类空间中具有适用性。

提出的方法

• 通过四个公理定义M-度量空间：不可区分元素的同一性、由自距离最小值下界限定、对称性，以及涉及自距离差值的修改版三角不等式。
• 使用变换 $ d_p(x,y) = 2p(x,y) - p(x,x) - p(y,y) $ 将偏度量与标准度量关联，并将此思想推广至M-度量。
• 引入集合 $ S(z) = \{ x \in X : m(x,z) - m_{x,z} \leq \phi(z) - \phi(x) \} $ 以分析M-度量空间中的不动点条件。
• 采用反证法证明：若序列 $ \{x_n\} $ 收敛于 $ z $，则 $ z $ 必须是满足不等式条件的唯一点。
• 构造两个明确的M-度量空间例子（非偏度量空间），以验证主要定理及其推论。
• 验证在这些例子中，诱导拓扑为离散拓扑（开球为单点集），从而确保所有函数均为下连续函数，且不动点存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 M-度量空间如何推广偏度量空间？其关键结构差异是什么？
• RQ2 Caristi-Kirk不动点定理能否从偏度量空间推广到M-度量空间？若能，如何实现？
• RQ3 在完备M-度量空间中，对于下连续函数 $ \phi $，自映射具有不动点的必要条件是什么？
• RQ4 是否存在非偏度量空间的M-度量空间？它们能否支持推广后的Caristi-Kirk定理？
• RQ5 某些M-度量所诱导的离散拓扑如何影响不动点定理的有效性与适用性？

主要发现

• 每个偏度量空间都是M-度量空间，但反之不成立，反例表明三角不等式可能不成立。
• 本文修正了Karapınar（2011）在偏度量空间中证明Caristi-Kirk定理时存在的缺陷，确保该论证在M-度量设定下逻辑严密。
• 在完备M-度量空间中，对任意下连续函数 $ \phi: X \to [0,\infty) $，存在一点 $ z \in X $，使得对所有 $ x \neq z $，有 $ \phi(z) < \phi(x) + m(z,x) - m_{x,z} $，从而推广了不动点条件。
• M-度量所诱导的拓扑可以是离散的，如例子所示：当 $ \varepsilon > 0 $ 足够小时，有 $ B(x, \varepsilon) = \{x\} $，这意味着所有实值函数均为下连续函数。
• 在构造的例子中，自映射 $ T $ 定义为：当 $ x \neq 4 $ 时 $ T(x) = 1 $，$ T(4) = 4 $，满足不等式 $ m(x,Tx) \leq \phi(x) - \phi(Tx) $，且在 $ x = 1 $ 和 $ x = 4 $ 处存在不动点，从而验证了定理。
• 当 $ m = p $ 时，M-度量空间中的推广Caristi-Kirk定理退化为原始结果，确认了不同结构间的一致性。