[论文解读] Relations in the Cremona group over perfect fields

Julia Schneider|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过适配 Blanc、Lamy 和 Zimmermann 对高维 Cremona 群的策略，在满足 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$ 的完美域上，构造了平面 Cremona 群的新正規子群。利用 Sarkisov 链和 Galois 不变的点配置，建立了从 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$ 到无限个 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的直和的满射群同态，证明了在此情形下 Cremona 群的非单性和非完全性。

ABSTRACT

For perfect fields $k$ satisfying $[\bar k:k]>2$, we construct new normal subgroups of the plane Cremona group and provide an elementary proof of its non-simplicity, following the melody of the recent proof by Blanc, Lamy and Zimmermann that the Cremona group of rank $n$ over (subfields of) the complex numbers is not simple for $n\geq3$.

研究动机与目标

• 将近期关于高维 Cremona 群非单性的证明扩展到非代数闭完美域上的平面 Cremona 群。
• 利用 Galois 作用下的几何不变量，显式构造 $\operatorname{Cr}_2(\mathbf{k})$ 的正規子群。
• 仅依赖经典代数几何和 Sarkisov 链分解，提供非单性的初等证明。
• 建立从 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$ 到无限个 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 直和的满射同态，表明该群非完全。

提出的方法

• 在 Mori 纤维空间之间的双有理映射群范畴 $\operatorname{BirMori}(X)$ 中，使用类型 I–IV 的 Sarkisov 链作为生成元。
• 根据伽罗瓦深度（即映射或其逆的基底的奇异点集中最大伽罗瓦轨道的大小）对链进行分类。
• 从 $\mathbb{P}^2$ 中大小为 4 或 2 的伽罗瓦轨道构造 $K_X^2 = 5$ 或 $6$ 的 Mori 二次柱面 $X \to \mathbb{P}^1$。
• 通过 $\operatorname{PGL}_3(\mathbf{k})$ 作用下的不变量和伽罗瓦下降，识别此类柱面的等价类。
• 利用高伽罗瓦深度（例如 $2n+1 \geq 17$）的 II 型链，在目标群中生成独立的 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 分量。
• 对由不同等价类决定的柱面因子进行投影，得到映射到 $\bigoplus_I \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 Blanc、Lamy 和 Zimmermann 用于高维 Cremona 群的策略能否被适配到非闭域上的平面 Cremona 群？
• RQ2 点和曲线的伽罗瓦轨道在构造 $\operatorname{Cr}_2(\mathbf{k})$ 的正規子群中起什么作用？
• RQ3 当 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$ 时，Cremona 群的结构如何变化？
• RQ4 是否存在无限多个独立的 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-值不变量作用于 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$？
• RQ5 对于满足 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$ 的完美域，$\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$ 的阿贝尔化群的基数是多少？

主要发现

• 对于任意满足 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$ 的完美域 $\mathbf{k}$，存在一个满射群同态 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2) \twoheadrightarrow \bigoplus_I \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，其中 $I$ 为无限集。
• 该同态的核包含 $\operatorname{PGL}_3(\mathbf{k})$，即 $\mathbb{P}^2$ 的自同构群。
• 该同态限制在子群 $\{(x,y) \mapsto (xp(y),y) \mid p \in \mathbf{k}(y) \setminus \{0\}\}$ 上是满射。
• 具有 $K_X^2 = 5$ 的 Mori 二次柱面的互不同等价类数量至少为 $\mathcal{N}_4$，即 $\mathbf{k}[x]$ 中奇数次不可约多项式的数量。
• 具有 $K_X^2 = 6$ 的 Mori 二次柱面的互不同等价类数量至少为 $\mathcal{N}_2$，即 $\mathbf{k}[x]$ 中不可约二次多项式的数量。
• 在 $\mathbb{Q}$ 上，$\mathcal{N}_2$ 和 $\mathcal{N}_4$ 均为无限，意味着指标集 $I$ 为无限，目标群为不可数。