[论文解读] Relations on $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ and the negative $r$-spin Witten conjecture

Nitin Kumar Chidambaram, Elba Garcia‐Failde+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 10

一句话总结

本文通过扭自旋曲线模空间上反canonical线丛的 $ r $ 次根的导出上推，引入了 Witten $ r $-自旋类的负自旋版本，称为 Theta 类 $\Theta^r$。尽管该类缺乏平坦单位且非半单，作者仍利用 Teleman 重构定理构造了一个半单形变，证明了 $\Theta^r$ 的 descendant 潜在函数满足 $\mathcal{W}$-代数约束，并与 $ r $-KdV 层次的 $ r $-BGW tau 函数一致——$ r=2 $ 和 $ r=3 $ 时已验证，证实了 Norbury 的猜想，并将 Witten-Kontsevich 范式推广至负自旋结构。

ABSTRACT

We construct and study various properties of a negative spin version of the Witten $ r $-spin class. By taking the top Chern class of a certain vector bundle on the moduli space of twisted spin curves that parametrises $ r $-th roots of the anticanonical bundle, we construct a non-semisimple cohomological field theory (CohFT) that we call the Theta class $ Θ^r $. This CohFT does not have a flat unit and its associated Dubrovin--Frobenius manifold is nowhere semisimple. Despite this, we construct a semisimple deformation of the Theta class, and using the Teleman reconstruction theorem, we obtain tautological relations on $ \overline{\mathcal{M}}_{g,n} $. We further consider the descendant potential of the Theta class and prove that it is the unique solution to a set of $ \mathcal{W} $-algebra constraints, which implies a recursive formula for the descendant integrals. Using this result for $ r = 2 $, we prove Norbury's conjecture which states that the descendant potential of $ Θ^2 $ coincides with the Brézin--Gross--Witten tau function of the KdV hierarchy. Furthermore, we conjecture that the descendant potential of $ Θ^r $ is the $ r $-BGW tau function of the $ r $-KdV hierarchy and prove the conjecture for $ r = 3 $.

研究动机与目标

• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上构造负 $ r $-自旋结构的上同调场论（CohFT），将 Witten $ r $-自旋类推广至反canonical线丛的 $ r $ 次根。
• 分析所得 Theta 类 $\Theta^r$ 的几何与上同调性质，特别是其非半单性及缺乏平坦单位的特性。
• 利用 Givental–Teleman 重构，为 $\Theta^r$ 构造一个半单形变，从而在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上导出典型关系。
• 证明 $\Theta^r$ 的 descendant 潜在函数满足 $\mathcal{W}$-代数约束，从而导出所有 descendant 积分的递归公式。
• 验证 $\Theta^r$ 的 descendant 潜在函数与 $ r $-KdV 层次的 $ r $-BGW tau 函数一致，对 $ r=2 $ 确认为猜想，对 $ r=3 $ 予以证明。

提出的方法

• 通过扭自旋曲线模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g;a}^{r,-1}$ 上的通用 $ r $ 次根的导出上推，构造向量丛的上同调类，进而定义 Theta 类 $\Theta^r $ 为该丛的上陈类。
• 在向量空间 $ V = \mathbb{Q}\langle v_1, \dots, v_{r-1}\rangle $ 上定义 CohFT 结构，排除 $ v_0 $ 以确保与 CohFT 公理的一致性。
• 引入 $\Theta^r$ 的半单形变，通过平移与 $ R $-矩阵作用，使 Teleman 重构定理得以应用。
• 利用 Teleman 重构定理，从形变后的 CohFT 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上导出典型关系。
• 通过证明其满足 $\mathcal{W}^{-r+1}(\mathfrak{gl}_r)$-代数约束，将 $\Theta^r $ 的 descendant 潜在函数识别为 $ r $-BGW tau 函数。
• 通过 Kac–Schwarz 算子与 $\mathfrak{W}_{1+\infty}$ 对称性，证明 $ r $-BGW tau 函数与 descendant 潜在函数 $ Z^{\Theta^r} $ 的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个负自旋版本的 Witten $ r $-自旋类，作为 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的良定义 CohFT？其上同调性质如何？
• RQ2 能否为非半单的 Theta 类 $\Theta^r $ 构造一个半单形变？该形变是否在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上产生典型关系？
• RQ3 $\Theta^r $ 的 descendant 潜在函数是否为 $\mathcal{W}$-代数约束的唯一解？该性质是否蕴含所有 descendant 积分的递归公式？
• RQ4 $\Theta^r $ 的 descendant 潜在函数是否与 $ r $-KdV 层次的 $ r $-BGW tau 函数一致？该猜想对 $ r=2 $ 成立。
• RQ5 对 $ r=3 $，$ r $-BGW tau 函数是否与 descendant 潜在函数 $ Z^{\Theta^r} $ 等价？该结果是否将 Witten-Kontsevich 理论的可积结构推广至负自旋？

主要发现

• Theta 类 $\Theta^r $ 作为 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的非半单 CohFT 被构造，其定义为反canonical线丛的 $ r $ 次根的导出上推所生成向量丛的上陈类。
• 尽管缺乏平坦单位且处处非半单，Theta 类仍可构造半单形变，从而应用 Teleman 重构定理，导出 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的典型关系。
• $\Theta^r $ 的 descendant 潜在函数满足 $\mathcal{W}$-代数约束，该约束唯一确定其形式，并导出所有 descendant 积分的递归公式。
• 对 $ r=2 $，证明了 $\Theta^2 $ 的 descendant 潜在函数与 KdV 层次的 Brézin–Gross–Witten tau 函数一致，证实了 Norbury 的猜想。
• 对 $ r=3 $，论文证明了 $\Theta^3 $ 的 descendant 潜在函数与 $ r $-KdV 层次的 $ r $-BGW tau 函数一致，将可积结构框架推广至负自旋结构。
• 论文建立了系数 $ P_m(r,-1) $ 与 $ P_i(r,a) $ 之间的普遍关系，将已知的 Airy 与 Scorer 函数渐近展开推广至更高 $ r $。