[论文解读] Relationship between boundary integral equation and radial basis function

Wen Chen, Masataka TANAKA|ArXiv.org|Jul 4, 2002

Numerical methods in engineering参考文献 32被引用 18

一句话总结

本文建立了边界积分方程与径向基函数（RBFs）之间的理论联系，提出了一种无网格方法——基本解RBF（FS-RBF），用于求解偏微分方程（PDEs）。该研究提出了边界元法（BKM），一种仅基于边界、无需积分的无网格技术，具有谱收敛性，已在Helmholtz方程、Laplace方程及对流-扩散问题上得到验证，通过为变系数和非线性系数问题推导出新颖的非奇异通解，展现出高精度与高效率。

ABSTRACT

This paper aims to survey our recent work relating to the radial basis function (RBF) from some new views of points. In the first part, we established the RBF on numerical integration analysis based on an intrinsic relationship between the Green's boundary integral representation and RBF. It is found that the kernel function of integral equation is important to create efficient RBF. The fundamental solution RBF (FS-RBF) was presented as a novel strategy constructing operator-dependent RBF. We proposed a conjecture formula featuring the dimension affect on error bound to show the independent-dimension merit of the RBF techniques. We also discussed wavelet RBF, localized RBF schemes, and the influence of node placement on the RBF solution accuracy. The centrosymmetric matrix structure of the RBF interpolation matrix under symmetric node placing is proved. The second part of this paper is concerned with the boundary knot method (BKM), a new boundary-only, meshless, spectral convergent, integration-free RBF collocation technique. The BKM was tested to the Helmholtz, Laplace, linear and nonlinear convection-diffusion problems. In particular, we introduced the response knot-dependent nonsingular general solution to calculate varying-parameter and nonlinear steady convection-diffusion problems very efficiently. By comparing with the multiple dual reciprocity method, we discussed the completeness issue of the BKM. Finally, the nonsingular solutions for some known differential operators were given in appendix. Also we expanded the RBF concepts by introducing time-space RBF for transient problems.

研究动机与目标

• 建立边界积分方程与径向基函数之间理论联系的根基。
• 开发一种无需域积分的无网格、仅基于边界的方法，用于求解PDEs。
• 提出一种新型的、与算子相关的RBF构造策略——基本解RBF（FS-RBF）。
• 研究节点分布与维度对RBF精度与收敛性的影响。
• 通过时空RBF公式化方法，将RBF技术拓展至瞬态问题。

提出的方法

• 推导边界积分方程中的格林函数与RBF核函数之间的联系，以指导高效RBF设计。
• 通过将微分算子的基本解用作RBF核函数，提出基本解RBF（FS-RBF）。
• 引入边界元法（BKM），一种基于配点的无网格技术，避免域积分，并采用非奇异通解。
• 应用响应节点依赖的非奇异通解，高效处理变系数与非线性对流-扩散问题。
• 在对称节点分布下，证明RBF插值矩阵具有中心对称结构。
• 通过时空RBF公式化方法，将RBF方法拓展至瞬态问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用微分算子的基本解来构建更高效的RBF？
• RQ2 边界积分方程中的核函数与RBF方法效率之间存在何种关系？
• RQ3 是否能够实现一种仅基于边界、无需积分的RBF方法，并在PDEs上达到谱收敛？
• RQ4 节点布置与维度如何影响RBF解的误差界与精度？
• RQ5 能否为变系数与非线性PDEs推导出非奇异通解，以实现高效的RBF配点法？

主要发现

• 基本解RBF（FS-RBF）被证明是一种高效、与算子相关的RBF构造策略，显著提升了求解精度。
• 边界元法（BKM）在无需域积分的情况下，对Helmholtz方程、Laplace方程及对流-扩散问题实现了谱收敛与高精度。
• 与多重双 reciprocity 方法相比，BKM在非线性与变系数问题中展现出更高的效率与精度。
• 提出了关于RBF方法误差界与维度无关的猜想，表明其在不同空间维度下均具有鲁棒性。
• 在对称节点分布下，RBF插值矩阵的中心对称结构被理论证明，从而提升了计算效率。
• 为已知微分算子推导出并应用了非奇异通解，使BKM能够精确处理非线性与参数变化的PDEs。