[论文解读] Relationship Between the Hosoya Polynomial and the Edge-Hosoya Polynomial of Trees

Niko Tratnik, Petra Žigert Pleteršek|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Graph theory and applications参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文建立了树的Hosoya多项式与边-Hosoya多项式之间的直接代数关系，证明了 $ H_e(T,x) = \frac{1}{x}H(T,x) - \frac{|V(T)|}{x} $。该关系使得能够利用经典的Wiener指数和超-Wiener指数精确计算树的边-Wiener指数和边-超-Wiener指数，并为规则枝状分子提供了闭式公式。

ABSTRACT

We prove the relationship between the Hosoya polynomial and the edge-Hosoya polynomial of trees. The connection between the edge-hyper-Wiener index and the edge-Hosoya polynomial is established. With these results we also prove formulas for the computation of the edge-Wiener index and the edge-hyper-Wiener index of trees using the Wiener index and the hyper-Wiener index. Moreover, the closed formulas are derived for a family of chemical trees called regular dendrimers.

研究动机与目标

• 建立树中基于顶点的Hosoya多项式与基于边的边-Hosoya多项式之间的精确数学关系。
• 推导利用经典Wiener指数和超-Wiener指数计算树的边-Wiener指数和边-超-Wiener指数的公式。
• 为规则枝状分子提供边-Hosoya多项式、边-Wiener指数和边-超-Wiener指数的闭式表达式。
• 通过将现有基于距离的拓扑指数结果从顶点对推广到树结构中的边对，实现一般化。

提出的方法

• 将边-Hosoya多项式 $ H_e(G,x) $ 定义为线图 $ L(G) $ 的Hosoya多项式，建立 $ H_e(G,x) = H(L(G),x) $。
• 在树中构建顶点对在距离 $ k $ 与边对在距离 $ k-1 $ 之间的双射映射 $ F: V_k \to E_{k-1} $，证明对 $ k \geq 1 $ 有 $ d(T,k) = d_e(T,k-1) $。
• 推导关键恒等式 $ H(T,x) = xH_e(T,x) + |V(T)| $，进而得到 $ H_e(T,x) = \frac{1}{x}H(T,x) - \frac{|V(T)|}{x} $。
• 通过边-Hosoya多项式的微分，将边-Wiener指数表示为 $ W_e(T) = H_e'(T,1) $，边-超-Wiener指数表示为 $ WW_e(T) = H_e'(T,1) + \frac{1}{2}H_e''(T,1) $。
• 将推导出的公式应用于规则枝状分子 $ T_{k,d} $，利用其Wiener多项式已知结果，计算边-Hosoya多项式及其导数。
• 通过经典指数表达边指数验证一致性：$ W_e(T) = W(T) - \binom{|V(T)|}{2} $ 与 $ WW_e(T) = WW(T) - W(T) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 树中Hosoya多项式与边-Hosoya多项式之间的确切代数关系是什么？
• RQ2 树的边-Wiener指数和边-超-Wiener指数能否直接从经典Wiener指数和超-Wiener指数计算得出？
• RQ3 规则枝状分子的边-Hosoya多项式、边-Wiener指数和边-超-Wiener指数的闭式表达式是什么？
• RQ4 顶点对与边对在特定距离下的双射对应关系如何促成主恒等式的推导？

主要发现

• 树 $ T $ 的边-Hosoya多项式满足 $ H_e(T,x) = \frac{1}{x}H(T,x) - \frac{|V(T)|}{x} $，实现了从基于顶点的距离计数到基于边的距离计数的直接转换。
• 树的边-Wiener指数为 $ W_e(T) = W(T) - \binom{|V(T)|}{2} $，表明其为经典Wiener指数减去顶点对的数量。
• 树的边-超-Wiener指数满足 $ WW_e(T) = WW(T) - W(T) $，直接将其与经典超-Wiener指数和Wiener指数关联起来。
• 对于规则枝状分子 $ T_{k,d} $，边-Hosoya多项式被显式推导为 $ x $ 的偶次幂与奇次幂之和，其系数包含 $ (d-1)^i $、$ d $ 和 $ \binom{d}{2} $。
• 枝状分子 $ T_{k,d} $ 的边-Wiener指数计算为 $ W_e(T_{k,d}) = \frac{d\left(2-2d+(d-1)^k(d^2+4d-4)+(d-1)^{2k}(2-d(d+2)+2(d-2)dk)\right)}{2(d-2)^3} $。
• 枝状分子 $ T_{k,d} $ 的边-超-Wiener指数由包含 $ d $、$ k $、$ (d-1)^k $ 和 $ (d-1)^{2k} $ 的复杂有理表达式给出，证实了所推导公式的实际化学结构适用性。