[论文解读] Relationships between cycle spaces, gain graphs, graph coverings, fundamental groups, path homology, and graph curvature

Mark Kempton, Florentin Münch+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文建立了关于具有正Bakry-Émery曲率的有限图的同调消去定理，证明此类图具有平凡的一阶路径同调群与有限基本群——这与黎曼几何中的经典Bochner与Myers定理相对应。结果通过统一循环空间、带权图、图覆盖与路径同调而得出，关键洞见在于将一阶路径同调与循环空间模3-和4-圈联系起来，将基本群与带权图结构联系起来。

ABSTRACT

We prove a homology vanishing theorem for graphs with positive Bakry-Émery curvature, analogous to a classic result of Bochner on manifolds \cite{Bochner}. Specifically, we prove that if a graph has positive curvature at every vertex, then its first homology group is trivial, where the notion of homology that we use for graphs is the path homology developed by Grigor'yan, Lin, Muranov, and Yau \cite{Grigoryan2}. %\Hm{added the fundamental group curvature relation} We moreover prove that the fundamental group is finite for graphs with positive Bakry-Émery curvature, analogous to a classic result of Myers on manifolds \cite{Myers1941}. The proofs draw on several separate areas of graph theory. We study graph coverings, gain graphs, and cycle spaces of graphs, in addition to the Bakry-Émery curvature and the path homology. The main results follow as a consequence of several different relationships developed among these different areas. Specifically, we show that a graph with positive curvature can have no non-trivial infinite cover preserving 3-cycles and 4-cycles, and give a combinatorial interpretation of the first path homology in terms of the cycle space of a graph. We relate cycle spaces of graphs to gain graphs with abelian gain group, and relate these to coverings of graphs. Along the way, we prove other new facts about gain graphs, coverings, and cycles spaces that are of related interest. Furthermore, we relate gain graphs to graph homotopy and the fundamental group developed by Grigor'yan, Lin, Muranov, and Yau \cite{Grigoryan_homotopy}, and obtain an alternative proof to their result that the abelianization of the fundamental group is isomorphic to the first path homology over the integers.

研究动机与目标

• 通过离散曲率与同调，建立图论中经典Bochner与Myers定理的离散类比。
• 在统一框架下连接路径同调、循环空间、带权图与图覆盖。
• 通过模3-与4-圈的循环空间，提供一阶路径同调群的组合解释。
• 将图的基本群与带权图联系起来，并在正曲率条件下证明其有限性。
• 通过带权图结构，提供基本群的阿贝尔化与整数上一阶路径同调之间同构关系的替代证明。

提出的方法

• 基于阿贝尔带权群，提出一种新型循环基，称为Γ-圈生成元。
• 建立了循环空间与带权图之间的对应关系，将其与保持循环的图覆盖联系起来。
• 利用Grigor’yan、Lin、Muranov与Yau的路径同调理论，为图定义同调与基本群。
• 证明一阶路径同调群同构于模由所有3-与4-圈生成的子空间的循环空间。
• 引入一个通过生成树T与所有三角形与四边形集合B定义的群Γ(G, T, B)，以建模基本群。
• 应用DeVos、Funk与Pivotto关于偏置图的结果，以表征覆盖性质与基本群的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若图在每个顶点处具有正Bakry-Émery曲率，其一阶路径同调群是否平凡，类似于流形上的Bochner定理？
• RQ2 具有正Bakry-Émery曲率的有限图的基本群是否必然有限，如同Myers定理所述？
• RQ3 一阶路径同调群能否通过模3-与4-圈的循环空间进行组合解释？
• RQ4 带权图如何与循环空间及保持循环的图覆盖相关联？
• RQ5 基本群的阿贝尔化是否同构于整数上的一阶路径同调？能否通过带权图结构证明此结论？

主要发现

• 若有限图在每个顶点处具有正Bakry-Émery曲率，则其一阶路径同调群为平凡。
• 具有正Bakry-Émery曲率的有限图的基本群是有限的。
• 一阶路径同调群同构于模由所有3-与4-圈生成的子空间的循环空间。
• 具有正曲率的图不具有非平凡的无限覆盖，且该覆盖保持3-与4-圈。
• 基本群π₁(G)同构于通过生成树T与所有三角形与四边形集合B定义的群Γ(G, T, B)。
• 基本群的阿贝尔化同构于整数上的一阶路径同调，从而为一个已知结果提供了替代证明。