[论文解读] Relative and orbifold Gromov-Witten invariants

Dan Abramovich, Charles Cadman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文建立了光滑除子 D 上的对 (X, D) 的相对 Gromov-Witten 不变量与 r 次根丛 Xr 上的轨道 Gromov-Witten 不变量之间的精确对应关系。当亏格为 0 且 r 充分大时，这些不变量完全相等，表明即使在非枚举情形下，轨道不变量也稳定为相对不变量。证明基于形变理论、虚拟基本类以及通过 Costello 定理对局部完全交的障碍理论进行比较。

ABSTRACT

We prove that genus zero Gromov--Witten invariants of a smooth scheme relative to a smooth divisor coincide with genus zero orbifold Gromov--Witten invariants of an appropriate root stack construction along the divisor.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：即根丛的轨道 Gromov-Witten 不变量是否在 r → ∞ 时稳定为对 (X, D) 的相对不变量。
• 在亏格 0 情形下，对相对与轨道 Gromov-Witten 理论进行严格比较。
• 阐明轨道不变量与相对不变量在何种条件下产生相同计数，即使两者均非枚举型。
• 通过比较两种不同的几何构造——相对映射与轨道映射——将 Gromov-Witten 不变量的理解拓展至枚举范围之外。
• 证明高亏格不变量不具有稳定性，从而表明亏格 0 的相等性是一种特殊现象。

提出的方法

• 构造 (X, D) 上相对稳定映射的模空间与 Xr 上轨道稳定映射的模空间。
• 利用 Li 以及 Behrend–Fantechi 的虚拟基本类形式化，定义两种情形下的不变量。
• 通过稳定映射模堆栈的交换图应用 Costello 定理，对虚拟基本类进行比较。
• 使用 Behrend–Fantechi 形式化分析相对与轨道模空间的障碍理论，并证明障碍群同构。
• 通过限制到完全非退化的对象的稠密开子堆栈，将比较简化为局部完全交情形。
• 利用线丛带截面与展开的普遍情形，构建比较的基底。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 r → ∞ 时，r 次根丛 Xr 的轨道 Gromov-Witten 不变量是否稳定为 (X, D) 的相对不变量？
• RQ2 在两者均非枚举型的情况下，轨道不变量与相对不变量在何种条件下相等？
• RQ3 为何亏格 0 的相等性在高亏格情形下不成立？
• RQ4 能否通过堆栈的交换图比较相对与轨道模空间的障碍理论？
• RQ5 在相同组合数据下，相对模空间的虚拟基本类是否与轨道模空间的虚拟基本类同构？

主要发现

• 当亏格为 0 且 r 充分大时，(X, D) 的相对 Gromov-Witten 不变量与 Xr 的轨道不变量完全相等。
• 即使两者均非枚举型，不变量仍相等，表明其背后存在超越数值巧合的深层结构等价性。
• 证明的关键在于通过堆栈的交换图，证明相对与轨道模空间的障碍理论同构。
• 该比较仅在亏格 0 时成立；高亏格情形下轨道不变量不具有稳定性，因此不与相对不变量相等。
• 关键技术步骤是将 Costello 定理应用于连接稳定映射模堆栈的双有理、Deligne–Mumford 型态射。
• 在相同组合数据下，相对与轨道模空间的虚拟基本类同构，从而确认了不变量的不变性。