[论文解读] Relative categories: Another model for the homotopy theory of homotopy theories

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文在相对范畴的范畴上建立了与 Quillen 等价的模型结构，将查尔斯·雷茨（Charles Rezk）在单纯空间上的完全塞加（complete Segal）空间模型结构进行了提升。通过使用双重细分函子在单纯空间与相对范畴之间构造一个伴随关系，作者证明了相对范畴为 $(\infty,1)$-范畴的同伦理论提供了一个有效的替代模型，其中 DK 等价映射作为弱等价映射。

ABSTRACT

We lift Charles Rezk's complete Segal space model structure on the category of simplicial spaces to a Quillen equivalent one on the category of relative categories.

研究动机与目标

• 在小相对范畴的范畴 ($\mathbf{RelCat}$) 上建立一个 Quillen 等价的模型结构，以捕捉 $(\infty,1)$-范畴的同伦理论。
• 证明该模型结构中的弱等价映射恰好是 DK 等价映射，即保持同伦范畴与单纯局部化的映射。
• 在 $\mathbf{RelCat}$ 与配备雷茨（Rezk）完全塞加空间结构的单纯空间范畴之间建立 Quillen 等价。
• 证明在 $\mathbf{RelCat}$ 上存在一个共轭模型结构，其弱等价映射相同，但纤维与协纤维互换，且由对偶函子关联。
• 为汤普森（Thomason）的提升构造提供一个相对版本，适用于相对范畴及其细分。

提出的方法

• 通过伴随关系 $K_\xi \dashv N_\xi$，将单纯空间范畴 ($\mathrm{s}\boldsymbol{S}$) 上的 Reedy 模型结构提升至 $\mathbf{RelCat}$ 上的 Quillen 等价模型结构。
• 在相对偏序集中引入双重细分函子 $\xi = \xi_t \circ \xi_i$，该函子推广了汤普森（Thomason）的单重细分，使得模型结构的提升过程成为可能。
• 以 $\mathrm{s}\boldsymbol{S}$ 上的 Reedy 模型结构及其左 Bousfield 局部化作为提升的目标模型范畴。
• 验证右伴随 $N_\xi$ 将生成的平凡协纤维映射发送为弱等价映射，从而确保模型结构提升的条件成立。
• 应用小对象构造法，并利用闭包性质（可缩性、推出、超限复合），对 Dwyer 映射进行处理，这些映射在相对范畴设定中充当协纤维。
• 通过利用 $\mathrm{s}\boldsymbol{S}$ 上 Reedy 模型结构的相应性质，建立提升后模型结构的左正则性与右正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbf{RelCat}$ 上构造一个 Quillen 等价的模型结构，以建模 $(\infty,1)$-范畴的同伦理论？
• RQ2 该模型结构中的弱等价映射是否恰好是相对范畴之间的 DK 等价映射？
• RQ3 在相对偏序集上，双重细分函子 $\xi = \xi_t \circ \xi_i$ 是否提供了足够的控制，以实现从单纯空间到模型结构的提升？
• RQ4 能否在 $\mathbf{RelCat}$ 上定义一个共轭模型结构，其弱等价映射相同，但纤维与协纤维互换？
• RQ5 在 $\mathbf{RelCat}$ 上的对偶函子是否构成原始与共轭模型结构之间的 Quillen 等价？

主要发现

• 成功在 $\mathbf{RelCat}$ 上构造了 Quillen 等价的模型结构，实现了对雷茨（Rezk）在单纯空间上完全塞加空间模型结构的提升。
• 在 $\mathbf{RelCat}$ 上提升后的模型结构中，弱等价映射恰好是 DK 等价映射，确认了其在此语境下作为正确等价概念的角色。
• 在相对偏序集上的双重细分 $\xi = \xi_t \circ \xi_i$ 对于提升过程至关重要，确保了必要的同伦控制。
• 在 $\mathbf{RelCat}$ 上存在一个共轭模型结构，其弱等价映射与原结构相同，但纤维与协纤维互换，且由对偶函子关联。
• 在 $\mathbf{RelCat}$ 上的对偶函子是原始与共轭模型结构之间的 Quillen 等价映射，反映了 $(\infty,1)$-范畴自等价空间的单连通性。
• 提升后模型结构的左正则性与右正则性继承自 $\mathrm{s}\boldsymbol{S}$ 上的 Reedy 模型结构，这得益于右伴随 $N_\xi$ 保持极限以及满足提升条件。