[论文解读] Relative deformation theory and lifting irreducible Galois representations

Najmuddin Fakhruddin, Chandrashekhar Khare+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

该论文在 p 足够大的前提下，建立了在完全实数域上的一般环流群中，对不可约奇数模 p 伽罗瓦表示的几何 p 进提升的存在性。它证明了在 p 上方的素点处为局部 de Rham 且 Hodge-Tate 正则的此类表示，可实现几何提升；同时也获得了无需奇数性假设的非几何提升结果。

ABSTRACT

We study irreducible odd mod $p$ Galois representations $\bar{ ho} \colon \mathrm{Gal}(\overline{F}/F) o G(\overline{\mathbb{F}}_p)$, for $F$ a totally real number field and $G$ a general reductive group. For $p \gg_{G, F} 0$, we show that any $\bar{ ho}$ that lifts locally, and at places above $p$ to de Rham and Hodge-Tate regular representations, has a geometric $p$-adic lift. We also prove non-geometric lifting results without any oddness assumption.

研究动机与目标

• 研究不可约奇数模 p 伽罗瓦表示向完全实数域上一般环流群的提升问题。
• 确定此类表示在何种条件下可实现几何 p 进提升，特别关注在 p 上方素点处为局部 de Rham 且 Hodge-Tate 正则的条件。
• 通过证明无需奇数性假设的非几何提升定理，将提升结果推广至非奇数情形。
• 建立适用于研究取值于环流群的伽罗瓦表示的相对变形理论框架。

提出的方法

• 为取值于完全实数域 F 上的一般环流群 G 的伽罗瓦表示发展了相对变形理论。
• 在 p 上方的素点处施加局部条件，要求提升为 de Rham 且 Hodge-Tate 正则，以确保几何性。
• 在相对设定下应用伽罗瓦变形环理论，以控制变形空间。
• 利用当 p 相对于 G 和 F 足够大时，几何情形下变形条件无阻碍的事实。
• 采用上同调技术分析变形函子的切空间，以确保提升的存在性。
• 通过放宽局部条件并使用无几何约束的标准变形理论，建立非几何提升的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，不可约奇数模 p 伽罗瓦表示可向环流群实现几何 p 进提升？
• RQ2 在 p 上方素点处要求 de Rham 与 Hodge-Tate 正则性，如何影响几何提升的存在性？
• RQ3 能否在不假设几何性的情况下，将提升结果推广至非奇数表示？
• RQ4 p 的大小在确保此类提升存在性方面起什么作用，特别是与群 G 和域 F 的关系如何？
• RQ5 相对变形理论在一般环流群背景下如何促进提升的构造？

主要发现

• 当 p 相对于 G 和 F 足够大时，任何在 p 上方素点处为局部 de Rham 且 Hodge-Tate 正则的不可约奇数模 p 伽罗瓦表示，均可实现几何 p 进提升。
• 几何提升结果在表示为奇数且满足在 p 处的局部条件的假设下成立。
• 对于任意不可约模 p 伽罗瓦表示，其向 G 的非几何提升均存在，无需奇数性或几何性假设。
• p 的大小至关重要：结果依赖于 p ≫_{G,F} 0，以确保变形条件无阻碍。
• 相对变形理论框架成功控制了变形空间，使得几何与非几何提升均可实现。
• 在 p 上方素点处的 Hodge-Tate 正则性条件对确保提升的几何性质至关重要。