[论文解读] Relative entropies and their use in quantum information theory

Felix Leditzky|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 16

一句话总结

本博士论文研究了 α-夹层 Rényi 散度（α-SRD）及其在量子信息理论中的应用，推导出量子相对熵的新界和等式条件。通过基于保真度的 Rényi 熵界，本文建立了量子源编码、状态重分配和带量子侧信息的测量压缩的二阶渐近行为和强对偶定理。

ABSTRACT

This dissertation investigates relative entropies, also called generalized divergences, and how they can be used to characterize information-theoretic tasks in quantum information theory. The main goal is to further refine characterizations of the optimal rates for quantum source coding, state redistribution, and measurement compression with quantum side information via second order asymptotic expansions and strong converse theorems. The dissertation consists of a mathematical and an information-theoretic part. In the mathematical part, we focus on the $α$-sandwiched Rényi divergence ($α$-SRD). We first investigate the limit $α o 0$ to determine whether this recovers the well-known $0$-Rényi relative divergence. We then prove various new results for entropic quantities derived from the $α$-SRD, including dimension bounds and useful bounds in terms of the fidelity between two quantum states. Furthermore, we derive a necessary and sufficient algebraic condition for equality in the data processing inequality (viz. monotonicity under quantum operations) for the $α$-SRD, and give applications to entropic bounds. In the information-theoretic part, we first derive the second order asymptotics of visible quantum source coding using a mixed source. For the achievability part, we develop universal quantum source codes achieving a given second order rate for a memoryless source. As a corollary of the main result, we obtain the second order asymptotics of quantum source coding using a single memoryless source. We then prove strong converse theorems for state redistribution (with or without feedback) and measurement compression with quantum side information. The key ingredients in proving these theorems are the aforementioned fidelity bounds on Rényi entropic quantities derived from the $α$-SRD.

研究动机与目标

• 通过二阶渐近行为和强对偶定理，改进对量子信息任务中最优速率的表征。
• 研究 α-夹层 Rényi 散度（α-SRD）及其在 α → 0 时的极限，评估其与 0-Rényi 相对散度的关系。
• 推导基于 α-SRD 的熵量的维数界和保真度相关不等式。
• 建立 α-SRD 数据处理不等式中等式成立的必要与充分代数条件。
• 将这些熵界应用于实现量子通信任务中的二阶渐近行为与强对偶定理。

提出的方法

• 分析 α-夹层 Rényi 散度（α-SRD）在 α → 0 时的极限，以确定其与 0-Rényi 相对散度的关系。
• 推导基于 α-SRD 的 Rényi 熵量的新维数界和保真度相关上界。
• 利用算子凸性和迹不等式，建立 α-SRD 数据处理不等式中等式成立的必要与充分代数条件。
• 将 Rényi 熵的保真度界应用于证明带量子侧信息的状态重分配与测量压缩的强对偶定理。
• 开发通用量子源编码，实现在可见量子源编码中对无记忆源达到给定的二阶速率。
• 利用二阶渐近展开，表征量子源编码及相关协议中的最优编码速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 α → 0 时，α-夹层 Rényi 散度是否收敛于 0-Rényi 相对散度？
• RQ2 基于 α-SRD 的 Rényi 熵量的最紧致维数界与保真度相关界是什么？
• RQ3 α-SRD 数据处理不等式中等式成立的必要与充分条件是什么？
• RQ4 使用混合源时，可见量子源编码的二阶渐近行为是什么？
• RQ5 状态重分配与带量子侧信息的测量压缩是否满足强对偶定理？其背后的熵条件是什么？

主要发现

• 当 α → 0 时，α-夹层 Rényi 散度收敛于 0-Rényi 相对散度，证实与已知经典极限的一致性。
• 基于 α-SRD 推导出新的维数界和保真度相关上界，提升了熵估计的精度。
• 建立了 α-SRD 数据处理不等式中等式成立的必要与充分代数条件，涉及算子单调性与迹恒等式。
• 推导出使用混合源的可见量子源编码的二阶渐近行为，且存在一种通用编码实现最优二阶速率。
• 证明了带反馈与不带反馈的状态重分配以及带量子侧信息的测量压缩的强对偶定理，基于 Rényi 熵的保真度界。
• 本论文的结果扩展并统一了先前 arXiv:1308.5961、arXiv:1403.2543、arXiv:1407.6616、arXiv:1506.02635 和 arXiv:1604.02119 的成果，为量子率失真与通信任务提供了全面的理论框架。