[论文解读] Relative entropy in $2d$ QFT, finite-size corrections and irreversibility of the RG

José Gaite|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 1997

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 3

一句话总结

本文研究了在二维欧几里得量子场论中，相对熵作为重整化群（RG）不可逆性的度量，发现在理论置于圆柱面上时（有限温度几何），其在质量参数下保持有限且解析。本文建立了相对熵与一维量子热力学熵之间的直接对应关系，并通过应力张量分量提出了一种类似于 Zamolodchikov 的 c-定理的单调性定理，适用于圆柱几何。

ABSTRACT

The UV and IR behavior of the relative entropy for a Euclidean $2d$ QFT is studied for their application as irreversible quantities under the RG, focusing on free-field models. Next we consider the modifications introduced by putting the system in a finite geometry, in particular, the cylinder, interpreted as finite-temperature QFT. We find that the relative entropy is not only finite but analytic in the mass, which acts as coupling constant. In addition, we show that it essentially coincides with the $1d$ quantum thermodynamic entropy. Finally, we find the relation of the previous quantities with the complex components of the stress tensor and thence propose the monotonicity theorem for the relative entropy as the analog of Zamolodchikov's $c$ theorem for the cylinder geometry.

研究动机与目标

• 分析二维欧几里得 QFT 中相对熵在紫外（UV）和红外（IR）区域的行为，作为 RG 不可逆性的候选指标。
• 研究有限尺寸效应——特别是圆柱面紧化——对相对熵的影响。
• 在有限温度 QFT 的背景下，建立相对熵与一维量子热力学熵之间的联系。
• 将相对熵与圆柱几何中应力张量的复分量关联起来，并推导出适用于圆柱几何的单调性定理。

提出的方法

• 分析二维欧几里得 QFT 中的自由场模型，以研究相对熵在紫外和红外区域的行为。
• 通过将理论置于圆柱面上，施加有限尺寸条件，以模拟有限温度 QFT。
• 将质量视为耦合常数，计算相对熵作为质量的函数，并证明其保持解析且有限。
• 在有限几何设置下，将相对熵等同于一维量子热力学熵。
• 研究应力张量的复分量，并利用其结构推导出在 RG 流下相对熵的单调性性质。
• 提出一种适用于圆柱面上相对熵的新单调性定理，其形式类似于 Zamolodchikov 的 c-定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维 QFT 的紫外和红外极限下，相对熵的行为如何？它能否作为 RG 不可逆性的度量？
• RQ2 有限尺寸几何——特别是圆柱面——对相对熵有何影响？它如何影响其有限性和解析性？
• RQ3 在一维量子系统在有限温度下，是否存在相对熵与热力学熵之间的直接对应关系？
• RQ4 在圆柱几何中，应力张量的复分量与相对熵有何关联？
• RQ5 能否在圆柱面上建立一个类似于 c-定理的相对熵单调性定理？

主要发现

• 当二维 QFT 置于圆柱面上时，即使质量作为耦合常数，其相对熵在质量参数下仍保持有限且解析。
• 在圆柱面上，相对熵被证明与系统的 1D 量子热力学熵完全一致。
• 相对熵与应力张量的复分量直接相关，从而使其单调性具有几何解释。
• 本文为圆柱几何中的相对熵提出了一个类似于 Zamolodchikov 的 c-定理的单调性定理。
• 相对熵在质量参数下的解析性与有限性，表明其在有限尺寸 QFT 的微扰变形下具有鲁棒性。