[论文解读] Relative family Gromov-Witten invariants and symplectomorphisms

Olguţa Buşe|ArXiv.org|Oct 29, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文引入相对族格罗莫夫-威滕不变量，以检测配备1参数族辛形式的流形的辛同胚群中的非平凡同伦类。通过分析 $S^2 \times S^2 \times X$ 上具有形变上同调类的几乎复结构，证明了脆弱同伦元素（如阿布雷-麦克道夫所发现者）在辛同胚群的更高同伦群中持续存在，从而在 $π_k(G_\lambda^X)$ 中建立了可数无穷多个 $k$ 和 $λ$ 的非平凡元素。这些不变量是辛形变不变量，并能检测几乎复结构空间中非平凡的相对同伦类。

ABSTRACT

We study the symplectomorphism groups $G_λ=Symp_0(M,ω_λ)$ of an arbitrary closed manifold M equipped with a 1-parameter family of symplectic forms $ω_λ$ with variable cohomology class. We show that the existence of nontrivial elements in $π_*({\cal A},{\cal A}')$, where $({\cal A},{\cal A}')$ is a suitable pair of spaces of almost complex structures, implies the exiarxiv.org stence of families of nontrivial elements in $π_{*-i}G_λ$, for $i=1$ or 2. Suitable parametric Gromov Witten invariants detect nontrivial elements in $π_*({\cal A},{\cal A}')$. By looking at certain resolutions of quotient singularities we investigate the situation $(M,ω_λ)= (S^2 imes S^2 imes X,σ_F \oplus λσ_B \oplus ω_{st})$, with $(X,ω_{st})$ an arbitrary symplectic manifold. We find families of nontrivial elements in $π_k(G_λ^X)$, for countably many $k$ and different values of $λ$. In particular we show that the fragile elements $w_{\ell}$ found by Abreu-McDuff in $π_{4 \ell}(G_{\ell+1}^{pt})$ do not disappear when we consider them in $S^2 imes S^2 imes X$.

研究动机与目标

• 理解当 $\omega_\lambda$ 的上同调类在1参数族中变化时，辛同胚群 $\mathrm{Symp}_0(M,\omega_\lambda)$ 的拓扑如何改变。
• 使用参数格罗莫夫-威滕不变量检测辛同胚群同伦群中的非平凡元素。
• 证明脆弱同伦元素——此前在 $\pi_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$ 中发现者——在扩展至 $S^2 \times S^2 \times X$ 时仍保持非平凡。
• 通过纤维序列建立几乎复结构空间中非平凡相对同伦类与辛同胚群中非平凡同伦类之间的联系。

提出的方法

• 定义相对族格罗莫夫-威滕不变量 $PGW^{M,(J_B,J_{\partial B})}_{D,0,k}$，用于计数 $b \in B$ 时 $J_b$-全纯稳定映射（在类 $D$ 中），其中 $J_b$ 在 $\partial B$ 上避免此类映射，以确保其良定义性。
• 利用这些不变量构造从 $\pi_*(\mathcal{A}_I, \mathcal{A}_{I,D}^c)$ 到 $\mathbb{Q}$ 的同态 $\Theta_{k,\alpha_1,\dots,\alpha_k}$，这些不变量是辛形变不变量。
• 利用纤维丛 $\mathrm{Symp}_0(M,\omega_\lambda) \to \mathrm{Diff}_0(M) \to \mathcal{A}_\omega$ 将几乎复结构的同伦与辛同胚群的拓扑联系起来。
• 分析 $\mathbb{C}^2/C_{2\ell}$ 的商奇点的解析，以在 $\mathcal{A}_{[\ell+\epsilon,\ell]}$ 中构造显式族 $(J_{B_\ell}, \partial J_{B_\ell})$，其不变量非平凡。
• 对纤维丛应用同伦群的长正合列，将 $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$ 中的非平凡类上移到 $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$ 中的非平凡元素。
• 证明 $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$ 中的持久元素在 $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$ 中产生非平凡且非芽类的元素，表明其为新元素，且无法从 $\mathrm{Diff}_0(M)$ 提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 几乎复结构空间中的非平凡同伦类是否能检测辛同胚群中的非平凡元素？
• RQ2 相对族格罗莫夫-威滕不变量能否在辛形式形变下检测辛同胚群中持续存在的同伦元素？
• RQ3 在 $\pi_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$ 中发现的脆弱同伦元素在扩展至 $S^2 \times S^2 \times X$ 时是否仍存在？
• RQ4 通过这些不变量构造的 $\pi_k(G_\lambda^X)$ 中的非平凡元素是否为新元素，还是仅来自 $\lambda < \ell$ 时 $\pi_k(G_\lambda)$ 的芽？
• RQ5 能否通过对 $\mathcal{A}_{\omega_\lambda}$ 中相对同伦类敏感的参数不变量来探测辛同胚群的拓扑？

主要发现

• 相对族格罗莫夫-威滕不变量 $PGW^{M,(J_B,J_{\partial B})}_{D,0,k}$ 是辛形变不变量，且仅依赖于对 $(J_B, J_{\partial B})$ 的相对同伦类。
• 对于 $M = S^2 \times S^2 \times X$ 且 $\omega_\lambda = \sigma_F \oplus \lambda \sigma_B \oplus \omega_{\mathrm{st}}$，当 $\lambda \in [\ell, \ell+\epsilon]$ 且 $\ell \in \mathbb{N}$ 时，存在非平凡不变量，从而在 $\pi_{4\ell-2}(G_\lambda^X)$ 中产生非平凡元素。
• 阿布雷-麦克道夫在 $\pi_{4\ell}(G_{\ell+1}^{\mathrm{pt}})$ 中发现的脆弱元素 $w_\ell$ 在提升至 $S^2 \times S^2 \times X$ 时并未消失，对 $\lambda > \ell$ 仍保持在 $\pi_{4\ell-2}(G_\lambda^X)$ 中非平凡。
• $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$ 中的非平凡元素可导出 $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$ 中的非平凡元素，且这些元素无法从 $\mathrm{Diff}_0(M)$ 提升，证明其为新元素，且非 $\pi_{k-1}(G_\lambda)$ 中元素的芽类（$\lambda < \ell$）。
• 在 $\pi_k(\mathcal{A}_{\ell^+}, \mathcal{A}_\ell)$ 中的持久元素（即无法提升至 $\pi_k(\mathcal{A}_\ell)$ 的元素）在 $\pi_{k-1}(G_\lambda^X)$ 中产生非平凡且非芽类的元素，确认其拓扑上的新颖性。
• 通过 $\mathbb{C}^2/C_{2\ell}$ 的解析构造提供了显式几乎复结构族，其不变量非平凡，从而实现了对 $\pi_k(G_\lambda^X)$ 中可数无穷多个非平凡同伦类的检测，其中 $k = 4\ell - 2$。