[论文解读] Relative p-adic Hodge theory: Foundations

Kiran S. Kedlaya, Ruochuan Liu|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 59被引用 88

一句话总结

本文通过 Witt 向量构造与非阿赋值解析几何，建立了一个相对 p 进 Hodge 理论的基础框架，将平展局部系统与相对 Robba 环上的 φ-模统一起来。主要贡献在于建立了 Q_p-向量空间上的连续伽罗瓦表示与完美oid Banach 代数上平展 φ-模之间的典范等价，通过 adic 空间与 perfectoid 空间将经典 (φ,Γ)-模理论推广至相对与几何设定。

ABSTRACT

We describe a new approach to relative p-adic Hodge theory based on systematic use of Witt vector constructions and nonarchimedean analytic geometry in the style of both Berkovich and Huber. We give a thorough development of phi-modules over a relative Robba ring associated to a perfect Banach ring of characteristic p, including the relationship between these objects and etale Z_p-local systems and Q_p-local systems on the algebraic and analytic spaces associated to the base ring, and the relationship between etale cohomology and phi-cohomology. We also make a critical link to mixed characteristic by exhibiting an equivalence of tensor categories between the finite etale algebras over an arbitrary perfect Banach algebra over a nontrivially normed complete field of characteristic p and the finite etale algebras over a corresponding Banach Q_p-algebra. This recovers the homeomorphism between the absolute Galois groups of F_p((pi)) and Q_p(mu_{p^infty}) given by the field of norms construction of Fontaine and Wintenberger, as well as generalizations considered by Andreatta, Brinon, Faltings, Gabber, Ramero, Scholl, and most recently Scholze. Using Huber's formalism of adic spaces and Scholze's formalism of perfectoid spaces, we globalize the constructions to give several descriptions of the etale local systems on analytic spaces over p-adic fields. One of these descriptions uses a relative version of the Fargues-Fontaine curve.

研究动机与目标

• 通过 Witt 向量与非阿赋值解析几何发展相对 p 进 Hodge 理论的系统性理论。
• 将经典 (φ,Γ)-模理论推广至特征 p 的完美 Banach 环上的相对设定。
• 在相对与 perfectoid 背景下，建立平展局部系统、φ-模与 B-对之间的等价关系。
• 通过基于 Fargues-Fontaine 曲线的几何框架，统一了拟平展上同调与 φ-上同调。
• 利用 perfectoid 与 adic 形式语言，恢复并推广了 F_p((π)) 与 Q_p(μ_p^∞) 的伽罗瓦群之间的域的典范等价。

提出的方法

• 利用 Witt 向量构造，关联 p 进 Hodge 理论中混合特征与相等特征设定之间的关系。
• 应用 Huber 的 adic 空间与 Scholze 的 perfectoid 空间，将局部构造全局化至 p 进域上的解析空间。
• 发展相对 Robba 环及其上的 φ-模，以刻画平展 Z_p-局部系统与 Q_p-局部系统。
• 在族中应用斜率理论与纯化滤子，分析相对环上的 φ-模。
• 构造 Fargues-Fontaine 曲线的相对版本，用于参数化 G_K-等变向量丛。
• 使用下降与粘合技术，对仿射 Banach 环上的有限投射模建立几何凝聚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 (φ,Γ)-模推广至特征 p 的完美 Banach 环上的相对设定？
• RQ2 p 进解析空间上的平展局部系统与相对 Robba 环上的 φ-模之间存在何种关系？
• RQ3 在相对与 perfectoid 背景下，拟平展上同调与 φ-上同调如何关联？
• RQ4 能否利用 perfectoid 与 adic 几何形式语言，恢复并推广 Gal(Q_p(μ_p^∞)) 与 Gal(F_p((π))) 之间的域的典范等价？
• RQ5 相对 Fargues-Fontaine 曲线在分类 G_K-等变向量丛中起何种作用？

主要发现

• 建立了连续伽罗瓦表示（作用于 Q_p-向量空间）与完美oid Banach 代数上平展 φ-模之间的典范等价。
• 本文将 Gal(F_p((π))) 与 Gal(Q_p(μ_p^∞)) 之间的域的典范等价作为一般等价关系的特例恢复：即特征 p 的完美 Banach 代数上的有限平展代数与其混合特征对应物之间的等价。
• 证明了在包括 B_K^dagger 与 C_K 在内的各种周期环上，平展 (φ,Γ)-模与伽罗瓦表示之间存在典范等价。
• 构造了 Fargues-Fontaine 曲线的相对版本，该曲线可分类 adic 空间上的 G_K-等变向量丛。
• 通过 φ-上同调计算了拟平展上同调，推广了 Herr 与第二作者的经典结果。
• Spa(K, o_K) 上 B-对的范畴与相对 Fargues-Fontaine 曲线上函数环上 φ-模的范畴等价。