[论文解读] Relative Robust Portfolio Optimization

Raphael Hauser, V. Krishnamurthy+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了一种相对鲁棒投资组合优化框架，通过最小化相对于各情景最优投资组合的最大遗憾，而非最坏情况下的绝对表现，来应对均值-方差投资组合选择中的不确定性。该框架为多面体和椭球体不确定性下的相对鲁棒问题提供了可计算的锥优化内近似与外近似，实现了实际应用，同时在关键资产配置场景中保持了理论保证。

ABSTRACT

Considering mean-variance portfolio problems with uncertain model parameters, we contrast the classical absolute robust optimization approach with the relative robust approach based on a maximum regret function. Although the latter problems are NP-hard in general, we show that tractable inner and outer approximations exist in several cases that are of central interest in asset management.

研究动机与目标

• 为解决经典绝对鲁棒优化在投资组合管理中的局限性，后者关注最坏情况下的目标值，可能因极端情景而过度惩罚决策。
• 开发基于遗憾最小化的相对鲁棒优化框架，其中绩效相对于每个情景下的最优解进行评估，更符合现实世界的投资表现评估。
• 为一般为NP难的相对鲁棒投资组合优化问题提供计算上可处理的近似方法，特别是在连续优化设置中。
• 将相对鲁棒优化的适用范围从离散问题扩展到与资产配置相关的连续二次和锥优化问题。
• 通过锥规划和凸分析，建立相对鲁棒公式在多面体和椭球体不确定性集下的可计算性的充分与必要条件。

提出的方法

• 将相对鲁棒投资组合优化问题表述为一个最小-最大遗憾问题，其中遗憾定义为投资组合目标值与各情景下最优值之间的差值。
• 利用对偶性和凸分析，通过锥优化技术将三重相对鲁棒问题转化为单层确定性问题。
• 应用S-引理和广义S-引理，推导出相对鲁棒问题可行性的充分条件，尤其适用于二次和第二类锥约束。
• 利用不确定性集的凸包（多面体）和椭球不确定性集，推导出相对鲁棒解集的内近似与外近似，实现高效计算。
• 采用Schur补和矩阵分解技术，将问题重述为适合第二类锥规划（SOCP）或半定规划（SDP）的形式。
• 引入提升技术，将原问题嵌入更高维空间，使相对鲁棒性条件转化为凸锥中的成员资格，从而通过锥优化实现可计算解。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对鲁棒优化如何适应连续投资组合优化问题，特别是具有不确定参数的均值-方差模型？
• RQ2 相对鲁棒投资组合优化的计算挑战是什么？能否通过可计算的近似方法加以缓解？
• RQ3 在何种不确定性结构（如多面体、椭球体）下，相对鲁棒投资组合问题能实现高效的锥规划重构？
• RQ4 能否通过凸分析和锥规划推导出相对鲁棒投资组合问题可计算性的充分与必要条件？
• RQ5 相对鲁棒方法在性能和鲁棒性方面与经典绝对鲁棒优化和标准均值-方差优化相比如何？

主要发现

• 尽管相对鲁棒投资组合优化问题在一般情况下为NP难，但在多面体和椭球体不确定性集下，其具有可计算的内近似与外近似。
• 对于最多包含一个或两个顶点（m_g ∈ {0,1}）的多面体不确定性，相对鲁棒问题可简化为一组第二类锥规划（SOCP），可通过内点法高效求解。
• 本文证明，相对鲁棒公式等价于一个涉及半正定矩阵之和与特定锥生成矩阵的锥可行性问题，在较弱条件下可实现精确表征。
• S-引理和广义S-引理的使用使得能够推导出相对鲁棒问题可行性的充分条件，且在不确定性顶点数较少时，这些条件也是必要的。
• 所提出的方法为资产管理者提供了一个实用框架，用于构建不仅对最坏情况绝对表现鲁棒，而且对相对于各情景最优投资组合的相对表现不足鲁棒的投资组合。
• 理论结果表明，相对鲁棒方法相比标准均值-方差优化，具有更平滑的解映射和更好的样本外表现，尤其在参数不确定性下表现更优。