[论文解读] Relative Yamabe Invariant

Kazuo Akutagawa, Boris Botvinnik|ArXiv.org|Aug 17, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文为具有边界的紧致黎曼流形引入了相对 Yamabe 不变量，将经典 Yamabe 不变量推广至边界上指定共形类的情形。通过使用归一化的爱因斯坦-希尔伯特泛函与粘合技巧，作者建立了相对 Yamabe 度量的存在性定理，并证明了该不变量在许多流形上为正，从而在几何分析中提供了正 scalar 曲率 cobordism 与同伦关系的共形类比。

ABSTRACT

We define a relative Yamabe invariant of a smooth manifold with given conformal class on its boundary. In the case of empty boundary the invariant coincides with the classic Yamabe invariant. We develop approximation technique which leads to gluing theorems of two manifolds along their boundaries for the relative Yamabe invariant. We show that there are many examples of manifolds with both positive and non-positive relative Yamabe invariants.

研究动机与目标

• 为具有边界的紧致流形定义相对 Yamabe 不变量，将经典 Yamabe 不变量推广至边界上指定共形类的情形。
• 发展一种近似技术，实现在边界上粘合流形的同时保持相对 Yamabe 不变量不变。
• 在 Escobar 条件下建立相对 Yamabe 度量的存在性，证明该不变量由归一化爱因斯坦-希尔伯特泛函的临界点实现。
• 探索正 scalar 曲率 cobordism 与同伦关系的共形类比，通过相对 Yamabe 不变量引入共形同伦与 cobordism 关系。

提出的方法

• 将归一化的共形类 $\bar{C}^0$ 定义为 $\bar{C}$ 中在边界上具有零平均曲率的度量集合，通过具有零法向导数的正函数进行共形标度变换。
• 在 $\mathcal{R}^0_{C}(W,M)$ 上引入归一化爱因斯坦-希尔伯特泛函 $I(\bar{g}) = \int_W R_{\bar{g}} d\sigma_{\bar{g}} / \mathrm{Vol}_{\bar{g}}(W)^{(n-2)/n}$，其临界点为具有零平均曲率的爱因斯坦度量。
• 证明 $I$ 在 $\mathcal{R}^0_{C}(W,M)$ 上的临界点对应于相对 Yamabe 度量，即在 $\bar{C}^0$ 中实现 $I$ 下确界的度量。
• 通过单位分解与共形变形构造粘合流形上的 Yamabe 问题的近似解，建立相对 Yamabe 不变量的粘合定理。
• 定义相对 Yamabe 不变量 $Y(W,M;C) = \sup_{\bar{C}: \partial\bar{C}=C} Y_{\bar{C}}(W,M;C)$，并通过显式构造证明其在许多流形上为正。
• 通过条件 $Y(W,M_0\sqcup(-M_1);C_0\sqcup C_1) > 0$ 引入共形同伦与 cobordism，证明其为等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边界上固定一个共形类时，经典 Yamabe 不变量是否可以推广至具有边界的流形？
• RQ2 在何种条件下，相对 Yamabe 不变量可通过归一化共形类中的临界度量实现其上确界？
• RQ3 如何在保持对相对 Yamabe 不变量的控制下，沿边界粘合流形？
• RQ4 是否存在正 scalar 曲率 cobordism 的共形类比？若存在，能否通过相对 Yamabe 不变量加以刻画？
• RQ5 正共形类在流形上的共形同伦与同伦关系之间存在何种联系？

主要发现

• 相对 Yamabe 不变量 $Y(W,M;C)$ 定义良好，且等于在 $\bar{C}^0$ 上归一化爱因斯坦-希尔伯特泛函的下确界，从而推广了经典 Yamabe 不变量。
• 对任意 $n \geq 3$，泛函 $I$ 在 $\mathcal{R}^0_C(W,M)$ 上无下界也无上界，但相对 Yamabe 常数 $Y_{\bar{C}}(W,M;C)$ 为有限值，可为正或非正。
• 在 Escobar 条件 (a)–(d) 下，相对 Yamabe 常数由某度量 $\check{g} \in \bar{C}^0$ 实现，该度量为具有常数标量曲率的相对 Yamabe 度量。
• 相对 Yamabe 不变量满足粘合定理：若两个流形沿其边界粘合，则结果的不变量下界为各分量不变量的最小值。
• 共形同伦是 $\mathcal{C}^+(M)$ 上的等价关系，定义为 $Y(W,M_0\sqcup(-M_1);C_0\sqcup C_1) > 0$，作者猜想其蕴含共形类的同伦。
• 共形 cobordism 是正共形流形上的等价关系，定义为 $Y(W,M_0\sqcup(-M_1);C_0\sqcup C_1) > 0$，并具有定义共形 cobordism 丛的潜力。