[论文解读] Relatively dominated representations

Feng Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 13

一句话总结

本文引入了相对主导表示作为几何有限性的高阶类比，将阿诺索夫表示推广至相对双曲群。证明了此类表示蕴含群的相对双曲性，诱导出行为良好的极限映射，并与先前的相对RCA及几何有限性Holonomy等概念统一。

ABSTRACT

Anosov representations give a higher-rank analogue of convex cocompactness in a rank-one Lie group which shares many of its good geometric and dynamical properties; geometric finiteness in rank one may be seen as a controlled weakening of convex cocompactness to allow for isolated failures of hyperbolicity. We introduce relatively dominated representations as a relativization of Anosov representations, or in other words a higher-rank analogue of geometric finiteness. We prove that groups admitting relatively dominated representations must be relatively hyperbolic, that these representations induce limit maps with good properties, provide examples, and draw connections to work of Kapovich--Leeb which also introduces higher-rank analogues of geometric finiteness.

研究动机与目标

• 通过引入相对于边界子群的主导性概念，将阿诺索夫表示推广至相对情形。
• 建立相对主导表示蕴含群相对双曲性的结论，扩展经典阿诺索夫表示的双曲性结果。
• 从鲍迪奇边界到射影空间及其对偶空间，构造连续、等变、横截的极限映射。
• 将新概念与先前工作（特别是卡波维奇–利布的相对RCA条件）关联，证明在温和假设下二者等价。
• 为相对双曲群背景下几何有限性的高阶类比提供一个框架。

提出的方法

• 通过奇异值比定义相对于一组边界子群的1-主导表示：对所有 $\gamma \in \Gamma$，有 $\sigma_1/\sigma_2(\rho(\gamma)) \geq C e^{\mu|\gamma|_c}$。
• 使用源自 $(\Gamma, \mathcal{P})$ 关联的带尖点空间 $X$ 的修改后词长 $|\cdot|_c$，该构造基于格罗莫夫与米内耶夫的工作。
• 对边界子群施加技术性条件（定义4.2），确保其像为抛物型，且其卡坦投影在极限下行为良好。
• 应用广义奥赛列杰茨定理（来自 [QTZ19]）以控制奇异值的增长，并证明一致压缩性质。
• 利用表示的动力学构造极限映射 $\xi: \partial(\Gamma, \mathcal{P}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}^d)$ 和 $\xi^*: \partial(\Gamma, \mathcal{P}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}^d)^*$。
• 通过算子范数与子空间间夹角的迭代估计，证明不稳定子空间与稳定子空间之间夹角的统一控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿诺索夫表示的观念能否在相对双曲群背景下实现相对化，同时保持关键的几何与动力学性质？
• RQ2 相对于边界子群的1-主导表示是否蕴含群为相对双曲群？
• RQ3 相对主导表示是否诱导出从鲍迪奇边界到射影空间的连续、等变、横截极限映射？
• RQ4 相对主导表示与卡波维奇–利布的相对RCA表示概念有何关系？
• RQ5 在何种条件下，边界子群在表示下表现良好，特别是其卡坦投影与抛物结构方面？

主要发现

• 若 $\rho: \Gamma \to \mathrm{GL}(d,\mathbb{R})$ 相对于 $\mathcal{P}$ 为1-主导表示，且 $\Gamma$ 包含非边界元素，则 $\Gamma$ 相对于 $\mathcal{P}$ 为双曲群。
• 表示 $\rho$ 诱导出明确定义的、$\Gamma$-等变的、连续的极限映射 $\xi: \partial(\Gamma, \mathcal{P}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}^d)$ 和 $\xi^*: \partial(\Gamma, \mathcal{P}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}^d)^*$，且二者横截并保持动力学性质。
• 不稳定子空间 $\tilde{U}(k,nN)$ 与稳定子空间 $E^s(k)$ 之间的夹角被一个仅依赖于 $C$、$\mu$ 和 $\mu'$ 的正数一致下界控制，显式下界为 $\geq \frac{2}{3}(3e)^{-2r} \exp\left(-\frac{3/2}{1-e^{-\mu}}\right) C^{-(1+2r)}$。
• 相对主导表示是离散且忠实的，且将非边界元素映射为拟紧矩阵。
• 轨道映射 $\Gamma \to \mathrm{GL}(d,\mathbb{R})$ 关于相对凯莱图度量是拟等距嵌入。
• 若 $\rho$ 为相对主导表示，则 $\rho(\Gamma)$ 为相对RCA表示，且其边界子群具有统一正则性与无畸变性，从而与卡波维奇–利布的框架建立强关联。