[论文解读] Relatively free associative algebras of ranks 2 and 3 with Lie nilpotency identity and systems of generators for some T-spaces

S. V. Pchelintsev|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Advanced Topics in Algebra被引用 3

一句话总结

本文研究特征不为2或3的域上秩为2和3的相对自由结合代数，满足李幂零恒等式 $[x_1,\dots,x_n]=0$（$n \geq 3$）。它建立了秩为3代数中的关键包含关系 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$，刻画了三元变量恒等式，并证明当 $χar(K) \geq 5$ 时，中心 $Z(F_r^{(n)})$ 等于 $(T^{(n-1)} + Z_q)(F_r^{(n)})$，其中 $q$ 是满足 $q \geq n-1$ 的最小 $p$ 的幂，$p=\mathrm{char}(K)$。此外，它还表明当 $n \geq 4$ 且 $χar(K) \geq n$ 时，$F_2^{(n)}$ 具有有限的严格递减的T-理想合成列，且其商模无真T-子空间。

ABSTRACT

We study relatively free associative algebras $F^{(n)}_r$ of ranks $r=2,3$ with the identity $[x_1,\dots, x_n]=0$ of Lie nilpotency of step $n\geqslant 3$ over a field $K$ of characteristic $ eq 2,3$. First we prove a Theorem on the inclusion $ T^{(m)}T^{(n)}\subseteq T^{(m+n-1)}$ for an associative algebra $A$ of rank $3$, where $T^{(n)}=T^{(n)}(A)$ is a T-ideal of $A$ generated by the commutator $[x_1,\dots, x_n]$; the restriction on rank is essential. Further, we describe 3-variable identities of the algebra $F^{(n)}$. In particular, the obtained description implies that $Z(F^{(n)}_r)=(T^{(n-1)}+Z_q)(F^{(n)}_r)$, where $p=\mathrm{char}(K)\geqslant 5$ and $q$ is a least power of $p$ such that $q\geqslant n-1$ and $Z_q$ is a T-space generated by $x^q$. We also prove the equality $Z(F^{(n)}_2)=F^{(n)}_2\cap Z(F^{(n)})$. Finally, we obtain certain generalizations and refinements of some results by A. V. Grishin and V. V. Shchigolev, respectively. For example, we prove that a unital algebra $F^{(n)}_2$ $(n\geqslant 4)$ over a field $K$ of characteristic $p\geqslant n$ possesses a finite strictly descending "composition" series of T-ideals $T^{(3)}=T_1\supset T_2\supset \dots \supset T_k\supset T_{k+1}=0$ such that each quotient $T_i/T_{i+1}$ does not contain any proper T-spaces. Key words: Lie nilpotency identity, center, kernel, proper polynomial, 3-variable identity, T-space.

研究动机与目标

• 分析满足李幂零恒等式 $[x_1,\dots,x_n]=0$（$n \geq 3$）的相对自由结合代数 $F_r^{(n)}$（$r=2,3$）的结构。
• 在秩为3的结合代数中建立基本包含关系 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$，展示秩在该类恒等式中的作用。
• 描述 $F_r^{(n)}$ 中的三元变量恒等式，特别是以 $T^{(n-1)}$ 和 $Z_q$（由 $x^q$ 生成的T-空间）表示中心 $Z(F_r^{(n)})$。
• 推广并细化Grishin与Shchigolev的结果，特别是在存在无真T-子空间商模的T-理想有限合成列方面。

提出的方法

• 研究采用非交换多项式恒等式中的T-理想与T-空间理论，重点关注李括号 $[x_1,\dots,x_n]$ 作为定义恒等式。
• 对特征 $\neq 2,3$ 的域上的结合代数进行结构分析，特别关注 $χar(K) \geq 5$ 的情形。
• 证明 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$ 依赖于李多项式的组合性质及秩为3的限制。
• 通过将中心 $Z(F_r^{(n)})$ 分解为 $T^{(n-1)}$ 和 $Z_q$ 确定其结构，其中 $Z_q$ 是由 $x^q$ 生成的T-空间，$q$ 为满足 $q \geq n-1$ 且为 $p=\mathrm{char}(K)$ 的幂的最小值。
• 对于满足 $n \geq 4$ 且 $χar(K) \geq n$ 的 $F_2^{(n)}$，构造了有限的严格递减的T-理想合成列，其中每个商模 $T_i/T_{i+1}$ 均不含真T-子空间。
• 分析利用了Grishin与Shchigolev关于T-理想滤链的已知结果，并将其推广至李幂零情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足李幂零恒等式 $[x_1,\dots,x_n]=0$ 的秩为2和3的相对自由结合代数 $F_r^{(n)}$ 中，中心 $Z(F_r^{(n)})$ 的结构是什么？
• RQ2 在秩为3的结合代数中，包含关系 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$ 是否成立？秩的限制是否必要？
• RQ3 当 $n \geq 4$ 且 $χar(K) \geq n$ 时，能否为 $F_2^{(n)}$ 构造出有限的严格递减的T-理想合成列，使得每个商模均不含真T-子空间？
• RQ4 $F_r^{(n)}$ 中的三元变量恒等式如何与T-理想结构及中心相关？
• RQ5 Grishin与Shchigolev关于T-理想滤链的结果在多大程度上可推广至李幂零情形？

主要发现

• 在秩为3的结合代数中，包含关系 $T^{(m)}T^{(n)} \subseteq T^{(m+n-1)}$ 成立，且秩的限制是本质的，因为该关系在更高秩下不成立。
• 中心满足 $Z(F_r^{(n)}) = (T^{(n-1)} + Z_q)(F_r^{(n)})$，其中 $q$ 是满足 $q \geq n-1$ 的最小 $p=\mathrm{char}(K) \geq 5$ 的幂，$Z_q$ 是由 $x^q$ 生成的T-空间。
• 当 $n \geq 4$ 且 $χar(K) \geq n$ 时，$F_2^{(n)}$ 存在有限的严格递减的T-理想合成列 $T^{(3)} = T_1 \supset T_2 \supset \cdots \supset T_k \supset T_{k+1} = 0$，且每个商模 $T_i/T_{i+1}$ 均不含真T-子空间。
• $F_2^{(n)}$ 的中心满足 $Z(F_2^{(n)}) = F_2^{(n)} \cap Z(F^{(n)})$，表明自由代数的中心与相对自由代数的中心相容。
• 本文完整描述了 $F_r^{(n)}$ 中的三元变量恒等式，这些恒等式揭示了中心结构与T-理想格的底层关系。
• 结果推广并细化了Grishin与Shchigolev的早期发现，特别是在T-理想滤链以及合成列中无真T-子空间商模的性质方面。