[论文解读] Relativistic Aberration and the Cosmological Constant in Gravitational Lensing I: Introduction

Dmitri Lebedev, Kayll Lake|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2016

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用 11

一句话总结

本文在史瓦西-德西特时空背景下，建立了测量零测地线之间可观测夹角的一般广义相对论框架，表明尽管宇宙学常数 Λ 不直接影响光线轨迹，但通过相对论性光行差和观测者运动，其会明确影响可观测的相交夹角和引力透镜观测量。关键贡献在于推导出一个统一的解析公式，用于计算包含 Λ、观测者动力学和光行差的可观测夹角，从而得到一个在透镜方程中显式包含 Λ 的结果。

ABSTRACT

An analysis of null geodesics in Schwarzschild de Sitter space is presented with special attention to their global `bending angles', local measurable angles, and the involvement of the cosmological constant. We make use of a general technique which allows for finding observable intersection angles of null trajectories analytically. A general relativistic aberration relationship is established as one of its applications. The question of whether or not the cosmological constant, $Λ$, contributes to orbits of light and to related observable quantities is addressed in detail. We also discuss the ongoing debate on this issue and respond to some recent papers on the topic. The dependence of measurable quantities on the motion of observers is stressed throughout. Exact formulas for measurable intersection angles, as well as gravitational lens equations for observers in the Schwarzschild de Sitter background are provided.

研究动机与目标

• 解决长期存在的争议：即尽管 Λ 不影响光线轨迹，它是否仍会贡献于引力透镜观测量。
• 发展一种通用的解析方法，用于计算史瓦西-德西特时空中两条零测地线之间可观测夹角。
• 阐明观测者运动和相对论性光行差在透镜测量中的作用，特别是在存在 Λ 的情况下。
• 在 SdS 背景下推导出一个单一光源的引力透镜方程，使 Λ 显式出现在可观测量中。
• 澄清当 Λ ≠ 0 时，如“影响参数”和“弯曲角”等定义的模糊性，并为特定类型的观测者提供可观测夹角的精确表达式。

提出的方法

• 利用 Kottler 坐标系中的四维向量形式，推导出两个零测地线之间可观测夹角的一般公式（公式 16）。
• 将一般夹角公式应用于 SdS 时空，精确计算静态观测者和共动观测者的可观测夹角表达式。
• 将相对论性光行差作为夹角公式的内在特征纳入，推导出适用于任意时空几何的不变光行差方程。
• 使用 Kottler 度规分析零测地线及其对 Λ 的依赖关系，表明尽管轨道不受 Λ 影响，但可观测夹角却受其影响。
• 通过结合可观测夹角和角直径距离，推导出单光源引力透镜方程（公式 35），其中 Λ 显式出现。
• 通过附录 B 中基于坐标的近似方法和测地线偏离法计算距离至一阶，对透镜方程进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使 Λ 不影响光线轨迹，它是否仍会贡献于引力透镜中的可观测量？
• RQ2 在存在 Λ 的情况下，相对论性光行差如何影响光线之间夹角的测量？
• RQ3 当 Λ ≠ 0 时，在 SdS 时空下“弯曲角”和“影响参数”的正确定义和行为是什么？
• RQ4 观测者运动和参考系选择如何影响透镜夹角的测量以及最终的透镜方程？
• RQ5 能否在 SdS 时空下推导出一个统一的解析透镜方程，使 Λ 显式出现在可观测量中？

主要发现

• 宇宙学常数 Λ 显式影响 SdS 时空中光线之间可观测夹角，尽管它不改变光线的轨道路径。
• 一般夹角公式（公式 16）统一处理了相对论性光行差和可观测夹角，在平直时空下退化为标准光行差公式。
• 对于静态观测者，可观测夹角 ψ_static 满足 tan(ψ_static) = √(f(r)/r²) / √(f(r₀)/r₀² − f(r)/r²)，其中 f(r) 依赖于 Λ。
• 对于大半径处的共动观测者，可观测夹角 ψ_comoving 同时依赖于度规和观测者的速度，Λ 通过 f(r₀) 和 fₘ₌₀(r) 进入表达式。
• 单光源引力透镜方程（公式 35）通过观测者速度和度规分量显式包含 Λ，证实了 Λ 对可观测量的影响。
• 通过角直径距离（公式 45）和可观测夹角（公式 44）推导透镜方程，验证了结果的一致性，并确认了 Λ 在透镜观测量中的作用。