[论文解读] Relativistic forces in Lagangian mechanics

J. Dı́az|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文在拉格朗日力学框架下建立了相对论性力的几何定义，证明了线性依赖于速度的相对论性力仅源自配置流形上的水平2-形式。关键结果是此类力与微分2-形式存在自然关联，将电磁力推广为该框架下最简单的相对论性相互作用。

ABSTRACT

We give a general definition of \emph{relativistic force} in the context of Lagrangian mechanics. Once this is done we prove that the only relativistic forces which are linear on the velocities are those coming from differential 2-forms defined on the configuration space. In this sense, electromagnetic fields provide a mechanical system with the simplest type of relativistic forces.

研究动机与目标

• 在不依赖任何特定度量的前提下，为拉格朗日力学中的相对论性力提供精确且几何化的定义。
• 阐明相对论性力与张量场（特别是配置空间上的微分形式）之间的关系。
• 识别出既具有相对论性又线性依赖于速度的力的数学结构。
• 表明切丛上的接触系统可独立于度量地刻画相对论性力。
• 在此形式化体系中，将电磁力推广为相对论性力的最简单示例。

提出的方法

• 将光滑流形 $M$ 的切丛 $TM$ 作为拉格朗日动力学的相空间。
• 利用自然投影 $\pi: TM \to M$ 定义 $TM$ 上的竖直与水平分布。
• 引入 $TM$ 上的接触系统 $\Omega$，其由所有消去所有二阶微分方程的水平1-形式组成。
• 通过位于接触系统 $\Omega$ 中的工作1-形式 $\alpha$（即 $\dot{\alpha} = 0$）来刻画相对论性力。
• 通过度量 $T_2$ 建立二阶微分方程与水平1-形式之间的一一对应关系。
• 证明线性依赖于速度的相对论性力对应于 $\alpha = i_{\dot{d}}\Phi_2$，其中 $\Phi_2$ 是取值于 $\Lambda^2 M$ 的 $TM$ 上的水平2-形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拉格朗日力学中，相对论性力的内在几何定义是什么？
• RQ2 相对论性力如何与配置空间上的张量场（特别是微分形式）相关联？
• RQ3 在拉格朗日框架下，哪些线性依赖于速度的力与相对论不变性相容？
• RQ4 为何 $TM$ 上的接触系统对于刻画相对论性力而言是根本性的，且独立于度量？
• RQ5 在此形式化体系中，电磁力如何作为相对论性力的最简单示例出现？

主要发现

• 线性依赖于速度的相对论性力正是那些其工作1-形式 $\alpha$ 属于 $TM$ 的接触系统 $\Omega$ 的力，即满足 $\dot{\alpha} = 0$。
• 此类力源自 $TM$ 上的水平2-形式 $\Phi_2$，通过 $\alpha = i_{\dot{d}}\Phi_2$ 给出，其中 $\dot{d}$ 为Liouville向量场。
• 力场 $W$ 由 $W = \Phi(\dot{d})$ 给出，其中 $\Phi$ 是 $M$ 上的反对称自同态场，且满足 $T_2(\Phi(\dot{d}), \dot{d}) = 0$。
• 当且仅当轨迹上切向量关于度量 $T_2$ 的长度恒定，即 $T_2(u,u)$ 沿轨迹为常数时，力学系统才是相对论性的。
• 电磁力是此类相对论性力的典范示例，对应于闭合2-形式 $\Phi_2 = F_{ij} dq^i \wedge dq^j$。
• 对于给定的 $\alpha$，2-形式 $\Phi_2$ 并非唯一，但可唯一确定至多加形如 $\phi^i \alpha_i \wedge \beta_i$ 的项，其中 $\alpha_i, \beta_i$ 为接触形式。