[论文解读] Relativistic probability waves

M. Grigorescu|ArXiv.org|May 21, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文通过将相空间扩展以包含能量和时间作为共轭变量，提出了一种洛伦兹协变的相对论性量子力学框架，实现了与洛伦兹群相容的正则结构。它通过扩展的刘维尓方程的相干态引入了相对论性概率波，从动量空间局域化分布推导出作用波，并表明时空离散化可导致相对论性维格纳函数和相对论性薛定谔方程，且在适当极限下可恢复非相对论性量子力学。

ABSTRACT

A canonical structure compatible with the action of the Lorentz group can be obtained considering the energy and time as conjugate variables of an extended phase space. Scalar probability waves, describing free relativistic particles, are associated with functional coherent states for an extended Liouville equation. Relativistic action waves are provided by distributions localized in the momentum space, evolving according to the continuity and Hamilton-Jacobi equations. Presuming the existence of minimum space and time intervals, the action distributions take the form of relativistic Wigner functions. The nonrelativistic quantum dynamics is retrieved approximating the time distribution function by a Gaussian wave packet.

研究动机与目标

• 通过将相空间扩展以包含能量和时间作为共轭变量，发展经典与量子力学的洛伦兹协变形式。
• 建立与洛伦兹群相容的正则结构，从而实现一致的相对论性统计力学框架。
• 将相对论性概率波作为扩展刘维尓方程在动量空间中的相干解推导出来。
• 表明通过假设最小长度间隔对时空进行离散化，可导致相对论性维格纳函数和相对论性薛定谔方程。
• 通过将时间分布近似为高斯波包，使非相对论性量子力学成为该框架的极限。

提出的方法

• 将经典相空间扩展，引入能量 $p_0 = -E/c$ 和时间 $q_0 = ct$ 作为正则共轭变量，形成八维扩展相空间 $M^e$。
• 定义自由相对论性粒子的扩展哈密顿量 $H^e_0 = -c\sqrt{p_0^2 - \mathbf{p}^2}$，通过李导数 $\mathcal{L}_{H^e}$ 产生洛伦兹不变的运动方程。
• 推导出在 $M^e$ 上分布函数的相对论性刘维尓方程，对动量局域化的相干态，其简化为耦合的连续性方程与哈密顿-雅可比方程。
• 引入作用波作为动量空间局域化的分布，通过连续性方程与哈密顿-雅可比方程演化，以通用时间 $u$ 作为演化参数。
• 应用一种离散化方案，假设存在一个最小长度 $\ell$（与普朗克尺度无关），从而在扩展的希尔伯特空间中实现波函数的离散表示。
• 直接在扩展相空间上定义维格纳函数作为准概率分布，避免基于轨迹的构造方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过将相空间扩展以包含能量和时间，在经典力学中构建与洛伦兹群相容的正则结构？
• RQ2 在扩展相空间框架下，相干态和概率波的相对论性推广是什么？
• RQ3 作用波——即动量空间局域化的分布——在扩展刘维尓动力学下如何演化？
• RQ4 时空离散化在恢复相对论性量子力学和维格纳函数中起什么作用？
• RQ5 非相对论性极限如何从相对论性框架中出现，特别是在波包演化和薛定谔方程方面？

主要发现

• 包含 $q_0 = ct$ 和 $p_0 = -E/c$ 的扩展相空间提供了与洛伦兹变换相容的正则结构，实现了相对论与统计力学的统一描述。
• 相对论性概率波作为扩展刘维尓方程的相干解出现，以通用时间 $u$ 作为演化参数，且在非相对论极限下，时间分布函数近似为高斯波包。
• 作用波由动量空间局域化的分布描述，通过连续性方程与哈密顿-雅可比方程演化，并通过参数 $\rho$ 表明其在洛伦兹提升下保持不变。
• 通过最小长度 $\ell$ 对时空进行离散化，可直接在扩展相空间上定义相对论性维格纳函数，取代基于轨迹的定义方式。
• 在扩展希尔伯特空间中的波函数遵循相对论性薛定谔方程演化，在定态情况下退化为克莱因-戈登方程。
• 当时间分布被近似为高斯波包时，非相对论性极限得以恢复，得到非定态薛定谔型演化，与标准量子力学一致。