[论文解读] Relativistic quantum mechanics of the Majorana particle: quaternions, paired plane waves, and orthogonal representations of the Poincar\'e group

H. Arodź, Z. Świerczyński|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文提出轴向动量算符 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$ 作为相对论性马约拉纳费米子的基本动量可观测量，取代标准的 $-i\nabla$，因为后者无法保持波函数的实性。利用 $\hat{p}_5$ 的本征函数，马约拉纳方程的一般解被证明由具有相反动量 $\mathbf{p}$ 和 $-\mathbf{p}$ 的成对、非对称平面波组成，该模型实现了与自旋-1/2 相容的、不可约的、实正交的洛伦兹群表示，且与反粒子的缺失一致。

ABSTRACT

The standard momentum operator $-i abla$ can not be accepted as observable in relativistic quantum mechanics of the Majorana particle. Instead, one can use axial momentum operator recently proposed in Phys. Lett. A {\bf383}, 1242 (2019). In the present paper we report several new results related to the axial momentum which elucidate its usability. First, a new motivation for the axial momentum is given, and the Heisenberg uncertainty relation checked. Next, we show that the general solution of time evolution equation in the axial momentum basis has a connection with quaternions. Single traveling plane waves are not possible in the massive case, but there exist solutions which consist of asymmetric pair of plane waves traveling in opposite directions. Finally, pertinent real orthogonal and irreducible representation of the Poincar\'e group -- consistent with the lack of antiparticle -- is unveiled.

研究动机与目标

• 解决马约拉纳相对论性量子力学中动量可观测量的问题，其中标准的 $-i\nabla$ 算符将实双旋量映射为虚数，违反实希尔伯特空间结构。
• 建立以轴向动量算符 $\hat{p}_5$ 作为平移生成元的一致时间演化与空间平移框架。
• 为质量化的马约拉纳粒子构造一个实的、不可约的、正交的庞加莱群表示，避免狄拉克理论中常见的两个自旋-1/2 表示的直和结构。
• 通过四元数探索解的物理诠释及成对传播平面波，揭示狄拉克理论中所不具备的新特征。

提出的方法

• 引入并论证轴向动量算符 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$ 作为厄米算符与可观测量，能保持双旋量波函数的实性。
• 利用 $\hat{p}_5$ 的本征函数展开时间依赖的马约拉纳波函数，导出以时间演化 SO(4) 矩阵表示的解。
• 将一般解重写为对应于 $\hat{p}_5$ 本征值 $\mathbf{p}$ 的传播平面波的叠加，揭示具有相反动量的成对模式。
• 建立时间演化振幅与四元数之间的联系，表明变换矩阵对应于四元数乘法。
• 通过在轴向动量基下构造作用于振幅上的实、不可约、正交的庞加莱群表示，证明模型的洛伦兹协变性。
• 证明马约拉纳粒子的维格纳旋转矩阵等价于 SU(2) 的自旋-1/2 表示的实形式，确认该框架下粒子的自旋-1/2 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准动量算符 $-i\nabla$ 不是马约拉纳粒子的有效可观测量，以及何种可观测量可替代它？
• RQ2 马约拉纳波函数在轴向动量基下的时间演化行为如何，SO(4) 矩阵在此演化中起何作用？
• RQ3 马约拉纳方程的一般解能否表示为传播平面波的叠加，若能，其动量与振幅有何约束？
• RQ4 庞加莱群协变性如何在轴向动量基下实现，由此产生的群表示具有何种性质？
• RQ5 解的结构与四元数之间有何关联，这如何与洛伦兹群的自旋-1/2 表示相关联？

主要发现

• 轴向动量算符 $\hat{p}_5 = -i\gamma^5\nabla$ 是一个有效、厄米的可观测量，与电荷共轭对易，不同于标准的 $-i\nabla$，且满足海森堡不确定性关系。
• 在轴向动量基下，马约拉纳方程的一般解可表示为波矢为 $\mathbf{p}$ 与 $-\mathbf{p}$ 的传播平面波的叠加，形成振幅比为 $1 : m/E_q$ 的非对称成对。
• 在有质量情形（$m > 0$）下，轴向动量不与哈密顿算符对易，因此 $\hat{p}_5$ 的本征态非定态；最小不变子空间由 $\pm\mathbf{p}$ 的一对模式张成。
• 波函数的时间演化涉及时间依赖的 SO(4) 矩阵，但可重新表达为成对平面波的叠加，从而简化物理诠释。
• 该模型实现了实的、不可约的、正交的庞加莱群表示，等价于自旋-1/2 表示的实形式，无直和结构，与反粒子的缺失一致。
• 轴向动量基中振幅的变换矩阵同构于四元数乘法，矩阵 $\hat{T}(u)$ 可表示为 $\alpha' I_4 + \beta' \hat{i} + \beta'' \hat{j} + \alpha'' \hat{k}$，证实了解空间的四元数结构。