[论文解读] Relativistic spin operator and Dirac equation

Paweł Caban, Jakub Rembieliński+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了庞加莱群的幺正表示理论与自旋-1/2粒子狄拉克方程之间的直接联系，表明福尔迪-伍尔菲森平均自旋算符自然地从该框架中涌现。它表明狄拉克方程源于双旋量表示中的显式洛伦兹协变性，并证实标准量子场论中费米子的自旋算符恰好对应于福尔迪-伍尔菲森平均自旋算符。

ABSTRACT

We give a direct link between description of Dirac particles in the abstract framework of unitary representation of the Poincaré group and description with the help of the Dirac equation. In this context we discuss in detail the spin operator for a relativistic Dirac particle. We show also that the spin operator used in quantum field theory for spin $s=1/2$ corresponds to the Foldy-Woutheysen mean-spin operator.

研究动机与目标

• 建立庞加莱群的抽象幺正表示与质量自旋-1/2粒子狄拉克方程之间的严格联系。
• 阐明在量子场论与量子信息背景下，相对论性自旋可观测量的本质。
• 表明福尔迪-伍尔菲森平均自旋算符是狄拉克粒子物理上一致的自旋算符。
• 证明狄拉克方程是双旋量表示中显式洛伦兹协变性的结果。

提出的方法

• 在庞加莱群的正负能量幺正表示的直和构成的抽象希尔伯特空间中构建狄拉克形式体系。
• 引入一个在洛伦兹群的双旋量表示下变换的协变基，该基自然满足狄拉克方程。
• 使用标准威格纳构造定义自旋基，确保其在洛伦兹提升下正确变换。
• 利用福尔迪-伍尔菲森变换将协变基与自旋基联系起来，从而对角化狄拉克哈密顿量。
• 推导自旋算符在洛伦兹变换下的变换性质，表明其通过威格纳旋转变换。
• 显式计算自旋算符的矩阵元，并利用狄拉克矩阵恒等式验证其与福尔迪-伍尔菲森平均自旋算符的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从显式洛伦兹协变性和幺正表示理论的原则出发推导狄拉克方程？
• RQ2 福尔迪-伍尔菲森平均自旋算符与自旋-1/2粒子的标准量子场论自旋可观测量之间的确切关系是什么？
• RQ3 自旋算符在洛伦兹变换下如何变换？它是否作为三维矢量变换？
• RQ4 为何狄拉克形式体系中动量基矢的常规选择与洛伦兹协变性不一致？正确的替代方案是什么？
• RQ5 在相对论性量子信息背景下，通过福尔迪-伍尔菲森变换定义的自旋算符具有何种物理意义？

主要发现

• 狄拉克方程作为在双旋量表示中要求显式洛伦兹协变性的结果自然出现，协变基向量通过构造满足该方程。
• 福尔迪-伍尔菲森平均自旋算符被严格证明等价于自旋-1/2粒子的标准量子场论自旋算符。
• 自旋算符在洛伦兹变换下按威格纳旋转变换，确认其作为三维矢量在空间旋转下的正确变换行为。
• 选择动量基矢为 $|\mathsf{\epsilon}p,\sigma\rangle$ 确保了与洛伦兹协变性的兼容性，而朴素选择 $p^{\pi}$ 无法保持变换律。
• 矩阵元 $\overline{v}^{\mathsf{\epsilon}}(p)\gamma^{\mu}v^{\mathsf{\epsilon}}(p) = \frac{p^{\mu}}{m}I_2$ 确认了正确的归一化与电流守恒。
• 自旋算符的矩阵元满足 $\overline{v}^{\mathsf{\epsilon}}(p)\gamma^5 v^{\mathsf{\epsilon}}(p) = 0$，证实无标量分量存在，且与平均自旋定义一致。