[论文解读] Relaxation Limit in Besov Spaces for Compressible Euler Equations

Jiang Xu, Zejun Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文在临界 Besov 空间中建立了多维可压缩 Euler 方程带松弛项的全局经典解的存在性，并证明了其松弛极限收敛于多孔介质方程。利用 Chemin-Lerner 的时空 Besov 空间与一个改进的共变项估计，证明了当松弛时间 τ→0 时，密度收敛于多孔介质方程的解，且在临界正则性指数 σ = 1 + d/2 下达到最优收敛速率。

ABSTRACT

The relaxation limit in critical Besov spaces for the multidimensional compressible Euler equations is considered. As the first step of this justification, the uniform (global) classical solutions to the Cauchy problem with initial data close to an equilibrium state are constructed in the Chemin-Lerner's spaces with critical regularity. Furthermore, it is shown that the density converges towards the solution to the porous medium equation, as the relaxation time tends to zero. Several important estimates are achieved, including a crucial estimate of commutator.

研究动机与目标

• 在临界 Besov 空间中建立可压缩 Euler 方程带松弛项的全局经典解的存在性，正则性指数为 σ = 1 + d/2。
• 证明当 τ → 0 时的松弛极限，表明密度收敛于多孔介质方程的解。
• 通过在更大的、临界的 Besov 空间 $ B^{ ho}_{2,1}( r^d) $ 中工作，改进先前在 Sobolev 空间中的结果，该空间是 $ W^{1,rown} $ 的子代数。
• 发展并应用一种新的 Besov 空间中的共变项估计，以控制能量估计中的非线性项。

提出的方法

• 在 Chemin-Lerner 的时空 Besov 空间 $ \widetilde{L}^\theta_T(B^{\sigma}_{2,1}) $ 中构造具有临界正则性 σ = 1 + d/2 的一致全局经典解。
• 利用 Littlewood-Paley 分解与 Bony 的拟积公式分析非线性项的结构。
• 在基于 $ L^p $ 的 Besov 范数中，推导出关于 $ [\varrho, \Delta_q]\mathrm{div}\mathbf{v} $ 与 $ [\mathbf{v}, \Delta_q]\cdot\nabla\varrho $ 的关键共变项估计。
• 应用 Aubin-Lions 紧致性引理，将松弛系统中 τ → 0 的极限过程传递过去。
• 利用嵌入关系 $ B^{\sigma}_{2,1} \hookrightarrow \mathcal{W}^{1,\infty} $ 确保经典解所需的足够正则性。
• 在 $ \widetilde{L}^\theta_T(B^{\sigma}_{2,1}) $-范数中建立一致有界性，以证明松弛极限的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可压缩 Euler 方程带松弛项是否在临界 Besov 空间中具有正则性 σ = 1 + d/2 的全局经典解？
• RQ2 在该临界正则性设定下，当松弛时间 τ → 0 时，解的渐近行为如何？
• RQ3 是否可在 Besov 空间中证明松弛极限，且密度是否收敛于多孔介质方程的解？
• RQ4 共变项估计在控制能量估计中非线性项的作用是什么？
• RQ5 与 Sobolev 空间相比，选择 $ B^{\sigma}_{2,1} $ 空间如何提升正则性与收敛性结果？

主要发现

• 对于初始数据属于 $ B^{\sigma}_{2,1} $ 且 $ \sigma = 1 + d/2 $ 的情形，若初始扰动足够小，则可压缩 Euler 方程带松弛项的柯西问题在 $ \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^d) $ 中存在唯一的全局经典解。
• 当 $ \tau \to 0 $ 时，密度 $ \rho $ 以弱-* 收敛于 $ L^\infty $ 与强收敛于 $ L^p $（$ p \in [1, \infty) $）的方式收敛于多孔介质方程 $ \partial_s \mathcal{N} - \Delta P(\mathcal{N}) = 0 $ 的解。
• 推导出一个新的共变项估计：$ 2^{q\sigma}\|[ abla \varrho, \Delta_q]\mathrm{div}\mathbf{v}\|_{L^\theta_T(L^{2d/(d+2)})} \leq C c_q \|\nabla \varrho\|_{\widetilde{L}^{\theta_1}_T(B^{\sigma-1}_{2,1})} \|\mathbf{v}\|_{\widetilde{L}^{\theta_2}_T(B^{\sigma}_{2,1})} $，其中 $ \|(c_q)\|_{\ell^1} \leq 1 $。
• 解收敛于平衡态的收敛速率在 $ L^p $-范数中为 $ (1+t)^{-d/2(1-1/p)} $，对于 $ 1 < p \leq \infty $，与先前在 Sobolev 空间中的最优速率一致。
• Chemin-Lerner 空间 $ \widetilde{L}^\theta_T(B^{\sigma}_{2,1}) $ 的框架能够更精确地控制时间和空间正则性，从而实现临界正则性下松弛极限的证明。
• 本结果通过在更大的、临界的 Besov 空间 $ B^{\sigma}_{2,1} $ 中工作，扩展了先前在 Sobolev 空间中的研究，该空间保证了分析所必需的代数与嵌入性质。