[论文解读] Relaxation Oscillations and the Entry-Exit Function in Multi-Dimensional Slow-Fast Systems

Ting-Hao Hsu, Shigui Ruan|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 52被引用 5

一句话总结

该论文将入口-出口函数推广至具有不变流形的多维慢-快系统，推导出在转折点处稳定性发生变化时松弛振荡存在性与稳定性的判据。该方法可严格预测具有快速进化动态的生态模型中的周期轨道，证实并扩展了在具有性状进化的捕食者-猎物系统中通过数值方法获得的结果。

ABSTRACT

For a slow-fast system of the form $\dot{p}=εf(p,z,ε)+h(p,z,ε)$, $\dot{z}=g(p,z,ε)$ for $(p,z)\in \mathbb R^n imes \mathbb R^m$, we consider the scenario that the system has invariant sets $M_i=\{(p,z): z=z_i\}$, $1\le i\le N$, linked by a singular closed orbit formed by trajectories of the limiting slow and fast systems. Assuming that the stability of $M_i$ changes along the slow trajectories at certain turning points, we derive criteria for the existence and stability of relaxation oscillations for the slow-fast system. Our approach is based on a generalization of the entry-exit relation to systems with multi-dimensional fast variables. We then apply our criteria to several predator-prey systems with rapid ecological evolutionary dynamics to show the existence of relaxation oscillations in these models.

研究动机与目标

• 将经典入口-出口函数推广至具有多维快变量的系统，以实现对复杂慢-快系统中松弛振荡的分析。
• 建立在由极限慢系统与快系统轨迹构成的奇异闭轨道附近，周期轨道存在性与轨道稳定性的充分条件。
• 将推广的框架应用于具有快速生态与进化动态的捕食者-猎物模型，严格证实了数值模拟中预测的松弛振荡的存在性。
• 为理解由性状进化驱动的生态系统中快速制度转变提供严格的解析基础。
• 利用单变量映射与过渡映射推导显式判据，以确定奇异摄动设置下周期轨道的稳定性。

提出的方法

• 通过分析在流形稳定性发生变化的转折点处的过渡映射，将入口-出口函数从一维快变量推广至多维快变量。
• 利用几何奇异摄动理论（GSPT）将系统分解为极限慢系统与快系统，并通过异宿连接构造奇异闭轨道。
• 通过过渡映射 $ D ilde{Q}_i $ 的单变量映射方法计算庞加莱映射的导数，从而实现对周期轨道的稳定性分析。
• 推导出一个关键判据，涉及过渡映射复合函数导数的绝对值的对数，其中 $ ext{sign}( ext{trace}) $ 决定轨道稳定性。
• 采用渐近展开与隐函数定理，定义过渡映射 $ Q $ 并计算其在平衡点处的导数。
• 在两个生态模型上验证该方法：一个为捕食者与猎物性状共同进化的模型（Cortez-Weitz系统），另一个为仅猎物进化的模型（Cortez-Ellner系统），并使用雅可比矩阵的数值近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有不变流形且稳定性在转折点处发生变化的多维慢-快系统中，松弛振荡存在的条件是什么？
• RQ2 经典入口-出口函数如何推广以处理具有多维快变量的系统？
• RQ3 什么判据可确定由慢段与快段构成的奇异闭轨道附近的周期轨道的轨道稳定性？
• RQ4 该推广框架能否严格证实生态-进化捕食者-猎物模型中通过数值方法观察到的松弛振荡的存在性？
• RQ5 由过渡映射导出的单变量映射如何与奇异摄动系统中周期轨道的稳定性相关联？

主要发现

• 推广后的入口-出口函数成功预测了在稳定性于转折点处发生变化的多维慢-快系统中松弛振荡的存在性。
• 在具有四个流形的Cortez-Weitz模型中（$ \beta = 0,1 $，$ \beta = 0,1 $），单变量映射的特征值为 $ \rho_1 \to 0.39 $，$ \rho_2 \to -6.14 \times 10^{-5} $，$ \rho_3 \to -5.11 \times 10^{-11} $，所有特征值的模均小于1，证实了轨道渐近稳定性。
• 在具有两个流形的Cortez-Ellner模型中（$ \beta = 0,1 $），该方法通过条件 $ \rho = \text{trace}(D\tilde{P}) < 1 $ 确认了稳定松弛振荡的存在，与数值模拟结果一致。
• 推导出的判据 $ \text{sign}(\text{trace}(D\tilde{P})) $ 决定轨道稳定性：$ \text{trace} < 0 $ 表明渐近稳定，$ \text{trace} > 0 $ 表明不稳定。
• 该方法为Hsu-Wolkowicz定理提供了严格替代方案，证明了在弱于先前所需假设的条件下松弛振荡的存在性。
• 庞加莱映射的特征值分析表明，当单变量映射的所有特征值模均小于1时，周期轨道为轨道局部渐近稳定。