[论文解读] Relaxed Dual Optimal Inequalities for Relaxed Columns: with Application to Vehicle Routing

Naveed Haghani, Claudio Contardo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2020

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文针对使用 ng-路线松弛的容量限制车辆路径问题中的列生成，提出了一种适用于松弛列的宽松对偶最优不等式（SF-DOI）。通过将平滑且灵活的 DOI 适应于处理松弛列，该方法在不削弱线性规划松弛的前提下加速了收敛，相较于基准实例实现了最高 1.6 倍的加速。

ABSTRACT

We address the problem of accelerating column generation for set cover problems in which we relax the state space of the columns to do efficient pricing. We achieve this by adapting the recently introduced smooth and flexible dual optimal inequalities (DOI) for use with relaxed columns. Smooth DOI exploit the observation that similar items are nearly fungible, and hence should be associated with similarly valued dual variables. Flexible DOI exploit the observation that the change in cost of a column induced by removing an item can be bounded. We adapt these DOI to the problem of capacitated vehicle routing in the context of ng-route relaxations. We demonstrate significant speed ups on a benchmark data set, while provably not weakening the relaxation.

研究动机与目标

• 解决在具有松弛列的集合覆盖公式中加速列生成的挑战，特别是在容量限制车辆路径问题中。
• 将平滑且灵活的 DOI（SF-DOI）框架扩展至处理如 ng-路线等松弛列，其允许客户被重复访问。
• 在显著减少大规模车辆路径问题列生成求解时间的同时，保持线性规划松弛的紧致性。
• 证明 DOI 可有效应用于松弛定价问题，而不会损害最终解的最优性。

提出的方法

• 将平滑 DOI（S-DOI）框架适配至 ng-路线，该框架对空间上相近或需求相似的客户强制实施相似的对偶值。
• 引入灵活 DOI（F-DOI），通过限制从路线中移除客户时的成本变化，实现更紧的对偶界。
• 将 S-DOI 与 F-DOI 结合为统一的 SF-DOI 框架，适用于 ng-路线公式中的松弛列。
• 通过约束对偶空间，将在定价子问题中应用 DOI，从而在不改变最优解的前提下缩小搜索域。
• 在终止时实施动态移除机制，以移除活跃的 DOI，防止原始问题出现无界解。
• 使用 ng-路线松弛使定价问题可解，通过允许非元素路线同时禁止局部短环路。

实验结果

研究问题

• RQ1 平滑且灵活的对偶最优不等式（DOI）能否有效适配至列生成中的松弛列？
• RQ2 在车辆路径问题中对 ng-路线松弛应用 SF-DOI 是否能加速收敛而不削弱线性规划松弛？
• RQ3 S-DOI 与 F-DOI 单独及联合使用时，对基准 CVRP 实例的列生成性能有何影响？
• RQ4 在终止时移除活跃 DOI 对收敛性和解质量有何影响？
• RQ5 DOI 能否应用于非元素路线松弛（如 ng-路线）的同时保持对偶界紧致性？

主要发现

• SF-DOI 框架在 46 个基准 CVRP 实例上实现了平均 20% 的加速，其中 S-DOI 单独在 44 个实例中实现了加速。
• SF-DOI 在 21 个实例中优于 S-DOI，表明当与 S-DOI 联合使用时，F-DOI 显著提升了加速效果。
• F-DOI 单独使用未带来平均加速，但其与 S-DOI 的结合显著提升了复杂实例的性能。
• 在 42 个实例中，终止时的 DOI 移除是必要的，以防止原始问题出现无界解，凸显其在收敛稳定性中的作用。
• 未发现任何实例因 DOI 导致原始问题无界，确认该方法保持了数值稳定性。
• 该方法保持了线性规划松弛的紧致性，因为 SF-DOI 不会削弱松弛，同时加速了收敛。