[论文解读] Relaxed Locally Correctable Codes with Improved Parameters

Vahid R. Asadi, Igor Shinkar|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新型宽松局部可纠正码（RLCC）的构造方法，其码长得到改进：一个 O(q)-查询 RLCC 实现了 O(k^{1+1/q}) 的码长，与已知的下界在常数因子范围内匹配。该方法利用在 Reed-Muller 码上的随机游走一致性测试，并结合近似 PCP 的组合定理，显著优于先前的 O(k^{1+1/√q}) 构造，推动了在常数查询复杂度范围内查询复杂度与码长之间权衡关系的理解。

ABSTRACT

Locally decodable codes (LDCs) are error-correcting codes $C : Σ^k o Σ^n$ that admit a local decoding algorithm that recovers each individual bit of the message by querying only a few bits from a noisy codeword. An important question in this line of research is to understand the optimal trade-off between the query complexity of LDCs and their block length. Despite importance of these objects, the best known constructions of constant query LDCs have super-polynomial length, and there is a significant gap between the best constructions and the known lower bounds in terms of the block length. For many applications it suffices to consider the weaker notion of relaxed LDCs (RLDCs), which allows the local decoding algorithm to abort if by querying a few bits it detects that the input is not a codeword. This relaxation turned out to allow decoding algorithms with constant query complexity for codes with almost linear length. Specifically, [BGH+06] constructed an $O(q)$-query RLDC that encodes a message of length $k$ using a codeword of block length $n = O(k^{1+1/\sqrt{q}})$. In this work we improve the parameters of [BGH+06] by constructing an $O(q)$-query RLDC that encodes a message of length $k$ using a codeword of block length $O(k^{1+1/{q}})$. This construction matches (up to a multiplicative constant factor) the lower bounds of [KT00, Woo07] for constant query LDCs, thus making progress toward understanding the gap between LDCs and RLDCs in the constant query regime. In fact, our construction extends to the stronger notion of relaxed locally correctable codes (RLCCs), introduced in [GRR18], where given a noisy codeword the correcting algorithm either recovers each individual bit of the codeword by only reading a small part of the input, or aborts if the input is detected to be corrupt.

研究动机与目标

• 为常数查询复杂度的局部可纠正码（LDC）的已知下界与最佳构造之间的差距提供填补。
• 在先前的 O(k^{1+1/√q}) 边界之外，改进宽松局部可纠正码（RLCC）的码长参数。
• 证明新构造在常数查询复杂度下与现有 LDC 下界在常数因子范围内匹配，从而推进对 LDC 与 RLCC 分离性的理解。
• 将构造扩展到更强的 RLCC 模型，其中允许在输入被污染时中止局部纠正。
• 提供一个框架，用于利用高维展开图或类似结构构造常数速率的 RLCC，且查询复杂度较小。

提出的方法

• 该构造通过在 Reed-Muller 码上使用随机游走一致性测试（CTRw）来验证码字各部分的局部一致性。
• 一个组合定理将基于 CTRw 的 RLCC 与近似 PCP 结合，以实现高效的局部纠正。
• 局部纠正算法查询码字中的少量位置，并利用 CTRw 检测一致性，或在检测到污染时中止。
• 该方法依赖于一个标准的近似 PCP 系统，以确保在宽松解码模型下的可靠性与完备性。
• 构造假设域大小足够大（|F| ≥ c_q · k^{1/q}），以支持所需的代数结构。
• 通过与一个常数速率的二进制码进行级联，获得二进制 RLCC，其查询复杂度和码长在常数因子范围内保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 O(q)-查询 RLCC 的码长能否被改进至 O(k^{1+1/q})，同时保持常数查询复杂度？
• RQ2 新构造是否在常数因子范围内与常数查询 LDC 的已知下界匹配，从而在常数查询范围内填补差距？
• RQ3 基于 CTRw 的 Reed-Muller 码方法能否扩展至实现具有次多项式查询复杂度的常数速率 RLCC？
• RQ4 在常数查询复杂度下，标准 LDC 与 RLDC 的码长之间是否存在分离，且能否通过改进的构造加以证明？
• RQ5 高维展开图的哪些结构特性足以支持高效的 RLCC 构造？

主要发现

• 本文构造了一个 O(q)-查询 RLCC，其码长为 O(k^{1+1/q})，优于 [BGH+06] 提供的先前 O(k^{1+1/√q}) 边界。
• 新构造与 [KT00, Woo07] 对常数查询 LDC 的下界在常数因子范围内匹配，表明其在码长上近乎最优。
• 该方法可扩展至宽松局部可纠正码（RLCC），支持在输入被污染时中止的局部纠正。
• 构造假设域大小足够大（|F| ≥ c_q · k^{1/q}），这是代数编码理论中的标准假设。
• 通过与一个常数速率二进制码级联，获得具有类似参数的二进制 RLCC，其查询复杂度和码长在常数因子范围内保持不变。
• 基于 CTRw 和近似 PCP 的框架支持一个清晰的组合定理，能够在宽松模型下同时保证正确性与可靠性。