[论文解读] Relaxed Multirate Infinitesimal Step Methods

Jean Sexton, Daniel R. Reynolds|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2018

Numerical methods for differential equations被引用 3

一句话总结

本文提出了一类新型四阶精度的松弛多速率无限小步长（RMIS）方法，用于常微分方程系统，基于广义加法Runge-Kutta理论，扩展了递归通量分裂多速率无限小步长框架。该方法实现了次循环、自适应时间尺度分离以及嵌入式误差估计，同时不损害线性稳定性，通过在多速率问题上的数值收敛性和效率测试得到验证。

ABSTRACT

This work focuses on the construction of a new class of fourth-order accurate methods for multirate time evolution of systems of ordinary differential equations. We base our work on the Recursive Flux Splitting Multirate version of the Multirate Infinitesimal Step methods, and use recent theoretical developments for Generalized Additive Runge-Kutta methods to propose our higher-order Relaxed Multirate Infinitesimal Step extensions. The resulting framework supports a range of attractive properties for multirate methods, including telescopic extensions, subcycling, embeddings for temporal error estimation, and support for changes to the fast/slow time-scale separation between steps, without requiring any sacrifices in linear stability. In addition to providing rigorous theoretical developments for these new methods, we provide numerical tests demonstrating convergence and efficiency on a suite of multirate test problems.

研究动机与目标

• 开发适用于多速率常微分方程系统的更高阶精度时间积分方法。
• 通过引入松弛格式扩展多速率无限小步长框架，保持稳定性的同时支持高级功能。
• 在积分过程中实现快速/慢速时间尺度分离的动态变化，且不损失稳定性。
• 在稳定且高阶的框架内，通过嵌入实现次循环和时间误差估计。
• 提供一个理论基础坚实、灵活的多速率时间积分方法，适用于多种多速率问题。

提出的方法

• 该方法基于递归通量分裂多速率无限小步长格式，通过广义加法Runge-Kutta理论引入松弛阶段进行增强。
• 引入松弛系数，使得在任意时间尺度分离下仍能保持高阶精度和线性稳定性。
• 该框架支持望远镜式扩展，可高效地在多个时间步长上进行积分，且支持不同的次循环比率。
• 通过嵌入实现时间误差估计，额外计算成本仅限于基础方法。
• 该方法在步骤之间动态调整快速/慢速时间尺度分离，支持非均匀时间步长策略。
• 理论发展确保所有改进均不牺牲线性稳定性，这是多速率方法中的关键约束条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种四阶精度的多速率方法，在支持动态时间尺度自适应的同时保持线性稳定性？
• RQ2 如何在松弛多速率框架中嵌入次循环和误差估计，而不损害稳定性？
• RQ3 松弛格式在处理可变时间尺度分离方面，能在多大程度上提升多速率方法的灵活性？
• RQ4 所提出方法在标准多速率测试问题上的收敛行为和效率如何？
• RQ5 该框架能否支持望远镜式扩展和广义加法Runge-Kutta结构，同时保持高阶精度？

主要发现

• 所提出的松弛多速率无限小步长方法在所有测试配置下均实现了四阶精度并保持了线性稳定性。
• 该方法成功支持多级时间步长的次循环，能够高效地积分刚性与非刚性分量。
• 通过松弛框架内的嵌入对，实现时间误差估计，支持自适应时间步长。
• 该框架允许在步骤之间动态改变快速/慢速时间尺度分离，且无稳定性退化。
• 数值测试结果表明，在多速率测试问题上，该方法以预期的四阶收敛率运行，展现出良好的精度和效率。
• 该方法在多种多速率场景下表现出稳健性能，验证了其理论灵活性和实际应用价值。